Permutation in Zykelschreibweise

25.01.2012, 09:51

Mijo

Permutation in Zykelschreibweise

Hallo,

ich sitze gerade an folgender Aufgabe und frage mich, wie man am Besten vorgeht:

$\begin{eqnarray*} \text{Geben Sie i so an, dass }(2,5)(4,6)\circ i \circ (3,5)(7,8) = \pi \\ \\ \pi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 4 & 6 & 2 & 1 & 3 & 5 & 8 & 7 \end{pmatrix}\\ \\ \text{Probehinweis : Die Lösung lässt sich als einzelner Zykel schreiben} \end{eqnarray*}$

Also, wenn ich das durchgehe, komme ich bis zum i auf

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ & & 2 & & 3 & & 8 & 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

i kann außerdem keine Transposition sein, weil das dann nicht hinkommt. Ich habe schon etwas mit einem (6,1) Zykel probiert, aber dann fehlt mir ja immer noch etwas.

Wie würdet ihr am besten vorgehen, um auf den gesuchten Zykel zu kommen?

Viele Grüße
Mij0

25.01.2012, 10:03

tmo

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Multipliziere doch (2 mal von links, 2 mal von rechts) mit den Inversen der 4Transpositionen (Wie sehen Inverse von Transpositionen aus?), dann steht da $\begin{eqnarray*} i = ... \end{eqnarray*}$

Hintergrund dessen:
Wir sind ja in einer Gruppe.
In einer Gruppe lassen sich Gleichungen der Art $\begin{eqnarray*} axb=c \end{eqnarray*}$ immer eindeutig durch $\begin{eqnarray*} x = a^{-1}cb^{-1} \end{eqnarray*}$ lösen.

25.01.2012, 10:19

Mijo

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Das mit der Gruppe ist ein guter Tipp.

Ich weiß nur nicht genau, wie das dann aussehen muss.
Die Inversen sind ja die Transpositionen in umgekehrter Reihenfolge...

Muss dann sowas hier sein (5 2) (6 4) (4 6 2 1 3 5 8 7) (5 3) (7 8)?

26.01.2012, 20:00

Mijo

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Will mir niemand mehr helfen, weil die Lösung so trivial ist?
Tut mir Leid, wenn ich mich blöd dabei anstelle, aber ich weiß halt nicht, wie ich das dann rechnen muss.

01.02.2012, 11:45

Mijo

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Kann ich das denn prinzipiell alles in einem Rutsch wie das hier

(5 2) (6 4) (4 6 2 1 3 5 8 7) (5 3) (8 7) machen oder müssen die Schritte wie beim folgenden einzeln erfolgen?

(5 2) (2 5) (6 4) i (3 5) (7 8) =(5 2) (4 6 2 1 3 5 8 7)

01.02.2012, 15:39

Juppie

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Zitat:

Original von Mijo
Kann ich das denn prinzipiell alles in einem Rutsch wie das hier

(5 2) (6 4) (4 6 2 1 3 5 8 7) (5 3) (8 7) machen oder müssen die Schritte wie beim folgenden einzeln erfolgen?

(5 2) (2 5) (6 4) i (3 5) (7 8) =(5 2) (4 6 2 1 3 5 8 7)

Wie kommst du denn auf die (4 6 2 1 3 5 8 7)?

Pi ist in Zykelschreibweise: pi=(14)(2653)(78)

Du hast also

(25)(46) * i * (35)(78) = (14)(2653)(78)

Dann multiplizierst du links mit dem Inversen von (25)(46) und das ist bei Transpositionen einfach das gleiche, das kannst du ja nachrechnen, wenn du s in die andere Schreibweise veränderst:

(25)(46)*(25)(46)*i*(35)(78)=(25)(46)*(14)(2653)(78)

Dann das hinten ausrechnen und das gleiche mit (35)(78) machen, dann hast du i

01.02.2012, 16:18

Mijo

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Vielen Dank, Juppie!. Ich habe irgendwie nicht kapiert, dass ich die Permutation vorher als Zykel schreiben und dann damit arbeiten muss. Aber jetzt hab ichs!

Eine Frage hab ich noch

$\begin{eqnarray*} \pi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 7& 5 & 8 & 2 & 4 & 1 & 6 & 3\end{pmatrix} \\ \\ \text{Geben Sie das kleinste } k \in \mathbb{N} \text{ an, für das gilt } \pi^k = id \text{ gilt.} \end{eqnarray*}$

Wie soll man da rangehen, ohne es zu aufwendig zu machen. Ich weiß nicht, wie da der Ansatz aussehen würde.

EDIT: Aus einer Bemerkung im Skript, lese ich gerade folgendes:

$\begin{eqnarray*} \text{Es gilt stets } (x_1 x_2 ... x_k)^k = id \end{eqnarray*}$
Jetzt bin ich mir irgendwie unschlüssig.

01.02.2012, 17:49

Juppie

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pi=(14)(2653)(78)

Der längste Zykel hier drin ist ja (2653) und nach deiner Formel weißt du ja, nach wie viel mal multiplizieren der wieder die id ergibt, du hast die Lösung ja schon fast hingeschrieben :-)

01.02.2012, 18:11

Mijo

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Hey Juppie,

vielen, vielen Dank!

ich wusste zuerst nicht, dass ich dann nur den größten Zykel betrachten muss, aber das zu tun ist ja auch komplett logisch. Der hat 4 Elemente und man muss daher min. 4 potenzieren,um wieder auf die Identität für alle zu kommen. Jetzt hab ichs. Danke!!!

02.02.2012, 16:30

Juppie

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Ja aber du musst aufpassen, wenn du das verallgemeinerst, weil mit den Transpositionen klappt das mit dem 4-er Zykel gut, aber wäre da ein 3-er Zykel dabei gewesen, hätte man das kgv nehmen müssen, weil ja nach 4x multiplizieren der 3-er Zykel nicht die id gewesen wär, ich hoff ich hab das nicht zu kompliziert ausgedrückt gerade :-)

02.02.2012, 17:49

Mijo

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Das ergibt Sinn... Habe ich also etwas wie das hier (1 5 4 9) (7 8 6), ist k = 12.
Danke nochmal für den Hinweis. Ist ja eigentlich total logisch, aber ich hätte das jetzt fast übersehen... ;-)

02.02.2012, 18:47

Juppie

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Ja genau :-) die kgV Regel kann man allerdings auch nur bei disjunkten Zykeln nehmen, aber das stimmt so wie du's geschrieben hast.

Gruß
Juppie

03.02.2012, 16:06

Mijo

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Okay, werde ich mir merken.

Eine Frage habe ich noch. Ich dachte, ich hätte die Aufgabe zweimal so gehabt, aber irgendwie ist bei der hier nochmal was anders:

$\begin{eqnarray*} \text{Sei } k_0 \text{ das kleinste } k \in \mathbb{N} \text{ mit } \tau^k = 1. \text{ Berechnen Sie } k_0. \\ \\ \tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ 5 & 3&4&6&1&2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wann wird denn das Proukt von Zykeln überhaupt 1?

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