integral substitution

25.01.2012, 10:39

dark123

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integral substitution

hallo ich habe ein frage zu folgendem integral:

$\begin{eqnarray*} \int \sqrt{1+(6x)^2} \end{eqnarray*}$

also ich hab es nun mit substitution gelöst:

$\begin{eqnarray*} sinh(t) = 6x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> t = arcSinh(6x)<br /> t' = \frac{6}{\sqrt{36*x^2+1}}<br /> <br /> dx = \frac{1}{6} * \sqrt{36x^2+1} dt<br /> \end{eqnarray*}$

ich bekomme dann bei der resubstutitution als ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{12}*(arctan(6x) + Sinh(arcsinh(6x)) * cos(arcsinh(6x)) ) \end{eqnarray*}$

meine frage ist gibt es da noch eine einfachere lösung. mit dem taschenrechner ist das ja kein problem
aber ich soll das ganze ohne lösen können.
denn schon bei der umformung von sinh(t) = 6x nach t hätte ich ohne ti probleme.

25.01.2012, 11:09

klarsoweit

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RE: integral substitution
Wieso löst du $\begin{eqnarray*} sinh(t) = 6x \end{eqnarray*}$ nach t auf? Du kannst das auch nach x auflösen und bequem $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt} \end{eqnarray*}$ bilden.

25.01.2012, 11:24

dark123

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ok das wäre dann:

$\begin{eqnarray*} x'= \frac{cosh(t)}{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{cosh(t)}{6} * dt = dx \end{eqnarray*}$

dann wäre aber noch das problem:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \int cosh(t)^2 dt \end{eqnarray*}$

zu integrieren und wieder resubstituieren

25.01.2012, 11:51

klarsoweit

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Das geht mit partieller Integration.

25.01.2012, 12:51

dark123

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ah ok dann werd ich das mal versuchen. vielen dank

25.01.2012, 13:05

dark123

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hmm irgendwie dreh ich mich da aber im kreis. meisnt du ich soll cosh(x)^2 partiell integrieren? das wechselt ja immer zwischen cosh(t2 und sinh(t)^2

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25.01.2012, 13:16

Mulder

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Nutze die Identität

$\begin{eqnarray*} \cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1 \end{eqnarray*}$

aus.

25.01.2012, 13:45

dark123

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kannst du mir das bitte genauer erklären. wo soll ich das nutzen. zuerst partiell integrieren und dann mit dem ausdrück multiplizieren oder wie? ich seh das leider nicht.

25.01.2012, 13:51

Mulder

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Ich meine, dass du nach dem partiellen Integrieren das sinh² eben damit umformen sollst. Dann kannst du einfach nach dem gesuchten Integral auflösen.

25.01.2012, 14:09

dark123

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also ich hab nach der part. int. folgendes:

$\begin{eqnarray*} sinh(t) * cosh(t) - \int sinh(t)^2 \end{eqnarray*}$

mit sinh(t)^2 umgeformt ergibtdann

$\begin{eqnarray*} sinh(t) * cosh(t) - \int cosh(t)^2 -1 \end{eqnarray*}$

und dann wie auflösen?

25.01.2012, 14:11

Mulder

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Du sollst einfach die Gleichung nach

$\begin{eqnarray*} \int \cosh^2(t) \, \dd t \end{eqnarray*}$

auflösen.

25.01.2012, 14:32

klarsoweit

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Zitat:

Original von dark123
mit sinh(t)^2 umgeformt ergibtdann

$\begin{eqnarray*} sinh(t) * cosh(t) - \int cosh(t)^2 -1 \end{eqnarray*}$

Vollständig muß es lauten:

$\begin{eqnarray*} \int cosh(t)^2 ~dt = sinh(t) * cosh(t) - \int (cosh(t)^2 -1) ~dt \end{eqnarray*}$

Das ist dann auch die Gleichung, die man nach dem gesuchten Integral auflösen kann.

25.01.2012, 16:21

dark123

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also mit:

$\begin{eqnarray*} \int cosh(t)^2 ~dt = sinh(t) * cosh(t) - \int (cosh(t)^2 -1) ~dt \end{eqnarray*}$

erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \int (cosh(t)^2 + (cosh(t)^2 - 1)) dt = sinh(t) * cosh(t) \end{eqnarray*}$

ist das soweit richtig? nur was hilft mir das jetzt?

25.01.2012, 17:08

Mulder

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Zitat:

Original von Mulder
Du sollst einfach die Gleichung nach

$\begin{eqnarray*} \int \cosh^2(t) \, \dd t \end{eqnarray*}$

auflösen.

25.01.2012, 18:17

dark123

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also ich weiss echt nicht was ich wohin auflösen soll :-) magst du mir es nicht einfach sagen.

25.01.2012, 18:23

Mulder

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$\begin{eqnarray*} \int \cosh^2(t) \, \dd t = \sinh(t)\cosh(t)- \int (\cosh^2(t)-1) \, \dd t = \sinh(t)\cosh(t)- \int \cosh^2(t) \, \dd t + \int 1 \, \dd t \end{eqnarray*}$

Das ist eine banale Gleichung der Form

$\begin{eqnarray*} A = B - A + D \end{eqnarray*}$

Sowas kannst du doch nach A auflösen, oder etwa nicht?

25.01.2012, 20:01

dark123

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ok dann habe ich:

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> 2 * \int cosh(t)^2 = sinh(t) * cosh(t) + t<br /> \end{eqnarray*}$

jetzt nur die frage wie ich das wieder resubstituiere. sinh(t) hab ich ja aber den rest?

25.01.2012, 20:10

Mulder

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Wo ist das Problem?

$\begin{eqnarray*} \sinh(t)=6x \quad \Rightarrow \quad t = \mathrm{arsinh}(6x) \end{eqnarray*}$

Vereinfachen kann man dann noch

$\begin{eqnarray*} \cosh(\mathrm{arsinh}(6x)) = \sqrt{1+(6x)^2} \end{eqnarray*}$

Edit: Der Vollständigkeit halber denke bei unbestimmten Integralen an die Integrationskonstante.

25.01.2012, 20:40

dark123

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ok werd ich machen. das ganze muss ich jetzt wohl noch üben :-)

vielen dank für deine hilfe und gedult.

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