f:U---> V injektiv,surjektiv

25.01.2012, 13:33

martinio

f:U---> V injektiv,surjektiv

Hallo ,

bin auf eine echt interessante Sache gestoßen und versuche gerade sie nachzuvollziehen.

Sei f : U ----> V eine Abbildung.
$\begin{eqnarray*} B := \left\{ u_{1},...,u_{n} \right\} \end{eqnarray*}$ Basis von U.

Die Abbildung beschreibt die Zuordnung der Vektoren des Definitionsbereich U in den Bildberreich V. Es gilt:

$\begin{eqnarray*} f(b_{1}) = w_{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(b_{2}) = w_{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(b_{n}) = w_{n} \end{eqnarray*}$

Man nehme sich einen Vektor u aus U und stelle ihn als LK bzgl. der Basis $\begin{eqnarray*} B := \left\{ u_{1},...,u_{n} \right\} \end{eqnarray*}$ dar.

$\begin{eqnarray*} u = \sum\limits_{j=1}^n \lambda_{i} u_{i} \end{eqnarray*}$

Nun kann man natürlich auch diesen Vektor auf V abbilden, dann ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} f(u) = \sum\limits_{j=1}^n \lambda_{i} f(u_{i}) = \sum\limits_{i=1}^n \lambda_{i} w_{i} \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht ob ich das nun so machen darf, aber ich nenne $\begin{eqnarray*} f(u) = w \in W \end{eqnarray*}$ .
Meine Annahme bzgl. dieser Basenabbildung ist, dass die Abbildung bijektiv ist, da alle Elemente der Basis abgebildet werden und es zu jedem Urbild in U ein Bild in W exestiert. Gehe ich dieser Annahme richtig?

Wenn ja sollte man dies auch beweisen können, dazu muss gezeigt werden, dass f sowohl injektiv, als auch surjektiv ist. Dazu fand ich in dem entsprechenden Wikipediaartikel dieses hier, was mir kopfzerbrechenbereitet:

Die Funktion f ist genau dann injektiv, wenn die Zielvektoren $\begin{eqnarray*} \left\{ w_{1}, ... , w_{n}\right\} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind. Der Beweis ist mir eigentlich einleuchtend nur wird in dem entsprechenden Satz die injektivität (Monomorphismus) vorausgesetzt, kann man also die äquivalenz zwischen injektivität einer funktion und der linearen unabhängigkeit der zielvektoren annehmnen?

Die Funktion f ist genau dann surjektiv, wenn $\begin{eqnarray*} \left\{ w_{1}, ... , w_{n}\right\} \end{eqnarray*}$ den Zielraum W aufspannt. Das ist wiederum eig. einfach, da wenn $\begin{eqnarray*} \left\{ w_{1}, ... , w_{n}\right\} \end{eqnarray*}$ eine lin. unabhängige Teilmenge von W ist ==> ist eine Basis und damit ein Erzeugendensystem.

Vll. mag mir jemand kurz helfen.

25.01.2012, 14:36

Mulder

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RE: f:U---> V injektiv,surjektiv
Du schreibst mal V, mal W bei den Vektorräumen. Ich nenne jetzt alles V.

Zitat:

Original von martinio
Sei f : U ----> V eine Abbildung.
$\begin{eqnarray*} B := \left\{ u_{1},...,u_{n} \right\} \end{eqnarray*}$ Basis von U.

Die Abbildung beschreibt die Zuordnung der Vektoren des Definitionsbereich U in den Bildberreich V. Es gilt:

$\begin{eqnarray*} f(b_{1}) = w_{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(b_{2}) = w_{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(b_{n}) = w_{n} \end{eqnarray*}$

Man nehme sich einen Vektor u aus U und stelle ihn als LK bzgl. der Basis $\begin{eqnarray*} B := \left\{ u_{1},...,u_{n} \right\} \end{eqnarray*}$ dar.

$\begin{eqnarray*} u = \sum\limits_{j=1}^n \lambda_{i} u_{i} \end{eqnarray*}$

Nun kann man natürlich auch diesen Vektor auf V abbilden, dann ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} f(u) = \sum\limits_{j=1}^n \lambda_{i} f(u_{i}) = \sum\limits_{i=1}^n \lambda_{i} w_{i} \end{eqnarray*}$

Das alles hat mit Injektivität und/oder Surjektivität erstmal gar nichts zu tun.

Zitat:

Original von martinio
Meine Annahme bzgl. dieser Basenabbildung ist, dass die Abbildung bijektiv ist, da alle Elemente der Basis abgebildet werden und es zu jedem Urbild in U ein Bild in W exestiert. Gehe ich dieser Annahme richtig?

Nein, überhaupt nicht. Dass zu jedem Urbild in U ein Bild in V existiert, hat nichts mit Injektivität oder Surjektivität zu tun, das ist einfach die Definition einer Abbildung. Da wirfst du was durcheinander.

Zitat:

Original von martinio
Die Funktion f ist genau dann injektiv, wenn die Zielvektoren $\begin{eqnarray*} \left\{ w_{1}, ... , w_{n}\right\} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind. Der Beweis ist mir eigentlich einleuchtend nur wird in dem entsprechenden Satz die injektivität (Monomorphismus) vorausgesetzt, kann man also die äquivalenz zwischen injektivität einer funktion und der linearen unabhängigkeit der zielvektoren annehmnen?

Ja, das ist doch gerade die Aussage des Satzes: WENN f injektiv ist, dann sind die Bilder linear unabhängig. Und die Umkehrung gilt ebenfalls. Ist f aber nicht injektiv, gilt das eben nicht.

Das ist doch immer die Idee bei solchen Sachen: Wenn irgendetwas gilt, überlegt man sich, was man daraus so alles folgern kann. Annahme(n) -> Folgerung(en)

Zitat:

Original von martinio
Die Funktion f ist genau dann surjektiv, wenn $\begin{eqnarray*} \left\{ w_{1}, ... , w_{n}\right\} \end{eqnarray*}$ den Zielraum W aufspannt. Das ist wiederum eig. einfach, da wenn $\begin{eqnarray*} \left\{ w_{1}, ... , w_{n}\right\} \end{eqnarray*}$ eine lin. unabhängige Teilmenge von W ist ==> ist eine Basis und damit ein Erzeugendensystem.

Eine linear unabhängige Teilmenge von W muss doch nicht gleich auch eine Basis sein. Du weißt doch nichts über die Dimensionen von U und V. Wenn U die Dimension 3 hat, dann bildet eine injektive Abbildung die drei Basisvektoren auf drei linear unabhängige Vektoren in V ab. Aber wenn V beispielsweise die Dimension 4 hat, dann hat man logischerweise keine Basis.

Edit: Und wenn diese Bilder den Raum aufspannen, ist es zwar ein Erzeugendensystem, aber dann können diese Bilder trotzdem linear abhängig sein. Und dann ist f nicht injektiv.

25.01.2012, 14:56

martinio

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Hier nochmal korrigiert:

Sei f : U ----> W eine Abbildung.
$\begin{eqnarray*} B := \left\{ u_{1},...,u_{n} \right\} \end{eqnarray*}$ Basis von U.

Die Abbildung beschreibt die Zuordnung der Vektoren des Definitionsbereich U in den Bildberreich V. Es gilt:

$\begin{eqnarray*} f(u_{1}) = w_{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(u_{2}) = w_{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(u_{n}) = w_{n} \end{eqnarray*}$

Man nehme sich einen Vektor u aus U und stelle ihn als LK bzgl. der Basis $\begin{eqnarray*} B := \left\{ u_{1},...,u_{n} \right\} \end{eqnarray*}$ dar.

$\begin{eqnarray*} u = \sum\limits_{i=1}^n \lambda_{i} u_{i} \end{eqnarray*}$

Nun kann man natürlich auch diesen Vektor auf V abbilden, dann ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} f(u) = \sum\limits_{i=1}^n \lambda_{i} f(u_{i}) = \sum\limits_{i=1}^n \lambda_{i} w_{i} \end{eqnarray*}$

________________________________________________

Zitat:

Das alles hat mit Injektivität und/oder Surjektivität erstmal gar nichts zu tun.

Warum nicht? Man stellt sich doch automatisch die Frage wie eine lineare Abbildung charakterisiert werden kann: injektiv,surjektiv,bijektiv?

Laut Wikipedia , worauf ich hier Bezug nehme:

Zitat:

Die Abbildung f ist genau dann injektiv, wenn die Bildvektoren der Basis linear unabhängig sind. Sie ist genau dann surjektiv, wenn Bildvektoren den Zielraum W aufspannen.

Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung 5.1. Basen

Daher meine Idee: Wenn ich die Injektivität und Surjektivität nachweisen kann, dann ist die Abbildung bijektiv. Erstmal soweit, dann den Rest.

25.01.2012, 15:35

Mulder

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Zitat:

Original von martinio
Erstmal soweit, dann den Rest.

Meinst du damit, dass von dir jetzt noch weiteres kommt, wenn du soweit bist? Denn ich habe zunächst nichts weiter hinzuzufügen.

Zitat:

Original von martinio
Sei f : U ----> W eine Abbildung.
$\begin{eqnarray*} B := \left\{ u_{1},...,u_{n} \right\} \end{eqnarray*}$ Basis von U.

Die Abbildung beschreibt die Zuordnung der Vektoren des Definitionsbereich U in den Bildberreich V. Es gilt:

$\begin{eqnarray*} f(u_{1}) = w_{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(u_{2}) = w_{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(u_{n}) = w_{n} \end{eqnarray*}$

Man nehme sich einen Vektor u aus U und stelle ihn als LK bzgl. der Basis $\begin{eqnarray*} B := \left\{ u_{1},...,u_{n} \right\} \end{eqnarray*}$ dar.

$\begin{eqnarray*} u = \sum\limits_{i=1}^n \lambda_{i} u_{i} \end{eqnarray*}$

Nun kann man natürlich auch diesen Vektor auf V abbilden, dann ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} f(u) = \sum\limits_{i=1}^n \lambda_{i} f(u_{i}) = \sum\limits_{i=1}^n \lambda_{i} w_{i} \end{eqnarray*}$

Das - und wirklich nur das - hat bisher mit Injektivität nichts zu tun. Auch nicht mit Surjektivität. Da wird nur gesagt, dass eine lineare Abbildung bereits vollständig durch die Bilder der Basisvektoren beschrieben werden kann.

In dem Wiki-Artikel wird erst danach Bezug auf Inj. und Surj. genommen. Und zwar, indem weitere Annahmen eingebaut werden.

25.01.2012, 16:01

martinio

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okay, dann nun weiter.

Zitat:

Ja, das ist doch gerade die Aussage des Satzes: WENN f injektiv ist, dann sind die Bilder linear unabhängig. Und die Umkehrung gilt ebenfalls. Ist f aber nicht injektiv, gilt das eben nicht.

Wenn die Umkehrung gilt, dann weiß ich f ist injektiv.

Zitat:

Eine linear unabhängige Teilmenge von W muss doch nicht gleich auch eine Basis sein. Du weißt doch nichts über die Dimensionen von U und V. Wenn U die Dimension 3 hat, dann bildet eine injektive Abbildung die drei Basisvektoren auf drei linear unabhängige Vektoren in V ab. Aber wenn V beispielsweise die Dimension 4 hat, dann hat man logischerweise keine Basis. Edit: Und wenn diese Bilder den Raum aufspannen, ist es zwar ein Erzeugendensystem, aber dann können diese Bilder trotzdem linear abhängig sein. Und dann ist f nicht injektiv.

Das verstehe ich nur halb. Ich müsste also nachweisen, dass hier eine maximal lin. unabhängige Teilmenge vorliegt und das das Erzeugnis < w1,...,wn> = W ist. oder?

25.01.2012, 16:14

Mulder

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Zitat:

Original von martinio
Ich müsste also nachweisen, dass hier eine maximal lin. unabhängige Teilmenge vorliegt und das das Erzeugnis < w1,...,wn> = W ist. oder?

Es muss < w1,...,wn> = W und die $\begin{eqnarray*} w_i \end{eqnarray*}$ müssen linear unabhängig sein, ja. Dann hast du eine Basis von W.

25.01.2012, 16:30

martinio

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okay cool danke dir ! wie könnte eine typische aufgabe für die klausur aussehen?

25.01.2012, 16:40

Mulder

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Zitat:

Original von martinio
wie könnte eine typische aufgabe für die klausur aussehen?

Ich weiß nicht genau, welche Art Aufgaben du meinst. Gegebenenfalls kann man ja hier im Forum mal nach diversen Aufgaben suchen.

Es gibt auch einen Unterbereich hier im Forum, in dem Studenten immer mal wieder ihre Klausuren hochladen, damit andere daran üben können. Schau mal hier, vielleicht ist ja was für dich dabei.

Viele Unis bieten auf ihrer Homepage auch zahlreiche ältere Übungsklausuren an, vielleicht findest du da ja was. Oder halt einfach googeln.

Ich selbst bin da jetzt kein Spezialist, was typisch ist oder nicht.

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