Schnittpunkte dreier Kugeln

15.01.2007, 18:53

erik

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Schnittpunkte dreier Kugeln

Wenn sich drei (geg.) Kugeln in zwei Punkten schneiden, wie kann man diese Schnittpunkte dann berechnen?

gegebene Kugeln heißt:
- ich hab die Mittelpunkte und Radien
- damit kann ich die Schnittkreise mit Mittelpunkten und Radien berechnen
- da es aber im R3 keine Kreisgleichung gibt kann man den Schnittpunkt leider nicht so einfach berechenen
- ich hab außerdem die Schnittgerade die sich aus den Ebenen ergibt, mit deren Hilfe ich wiederum die Schnittkreise gewonnen hatte.

Die Schnittpunkte müssen auf der Schnittgerade, auf den Schnittkreisen und auf den Kugeln liegen - nur wie kann ich sie berechnen?

(Ich brauch das für meine Facharbeit. Ich bin schon seit Ewigkeiten am Grübeln, aber irgendwie is mir noch kein Licht aufgegangen)

15.01.2007, 19:20

Leopold

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Wenn du zwei Kugelgleichungen voneinander subtrahierst, erhältst du eine Ebenengleichung. Das ist die Gleichung derjenigen Ebene, in der der Schnittkreis liegt. Statt die Kugeln $\begin{eqnarray*} k_1,k_2 \end{eqnarray*}$ miteinander zu schneiden, kannst du daher auch eine der Kugeln mit dieser Ebene $\begin{eqnarray*} E_{12} \end{eqnarray*}$ schneiden:

$\begin{eqnarray*} k_1 \cap k_2 = k_1 \cap E_{12} = k_2 \cap E_{12} \end{eqnarray*}$

Und bei drei Kugeln $\begin{eqnarray*} k_1,k_2,k_3 \end{eqnarray*}$ müßte es so gehen:

Es seien $\begin{eqnarray*} E_{12},E_{13},E_{23} \end{eqnarray*}$ die Ebenen, in denen die Schnittkreise $\begin{eqnarray*} k_1 \cap k_2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} k_1 \cap k_3 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} k_2 \cap k_3 \end{eqnarray*}$ liegen. Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} k_1 \cap k_2 \cap k_3 = \left( E_{12} \cap k_1 \right) \cap k_3 = E_{12} \cap \left( k_1 \cap k_3 \right) = E_{12} \cap \left( E_{13} \cap k_1 \right) = \left( E_{12} \cap E_{13} \right) \cap k_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_1 = E_{12} \cap E_{13} \end{eqnarray*}$ ist aber eine Gerade. Damit ist alles zurückgeführt auf das Problem Schnitt von Gerade und Kugel.

Bei dieser Überlegung (ich hoffe, sie stimmt, ich bin mir da im Moment etwas unsicher) ist allerdings vorausgesetzt, daß sich die drei Kugeln in zwei Punkten schneiden. Das muß gegebenenfalls vorher irgendwie anders überprüft werden. Denn die Ebenen, die durch Subtraktion der Kugelgleichungen entstehen, existieren auch dann, wenn die Kugeln sich gar nicht schneiden. Man darf also nicht einfach naiv darauf losrechnen. (Es könnte aber sein, daß auch bei naiver Rechnung das Richtige herauskommt, weil dann die Gerade am Schluß die Kugel nicht schneidet. Ich kann das nicht völlig überblicken.)

16.01.2007, 12:31

riwe

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zumindest bei
$\begin{eqnarray*} K_1: \vec{x}^{2}=9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} K_2: (\vec{x}-\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\0 \end{pmatrix} )^{2}=9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} K_3: (\vec{x}-\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} )^{2}=25 \end{eqnarray*}$

stimmt alles
$\begin{eqnarray*} E_1:3x+3y-4z=9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_2:z=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
geschnitten mit $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ liefert
$\begin{eqnarray*} t_1=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_2= 3 \end{eqnarray*}$ und damit
$\begin{eqnarray*} P(3/0/0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q(0/3/0) \end{eqnarray*}$

Gott

Gott

werner

14.02.2007, 05:41

JohannesBuchner

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Drei Kugeln schneiden
Hallo!

Ich hab mich jetzt eine Woche mit dem Thema beschäftigt, weil ich einen Weg suche, die Schnittpunkte in Abhängigkeit von den Radien zu berechnen (Natürlich immer vorausgesetzt, dass die Radien groß genug sind), mit fixen Kugelpositionen.

Meine Unterlagen findet ihr unter
http://stud4.tuwien.ac.at/~e0625457/projekte/kugeln/

Das Beispiel von wernerrin hab ich ganz toll nachvollzogen, aber bei vielen anderen Angaben finde ich keine richtige Lösung. Siehe Datei bsp1, bsp2 in meinen Unterlagen.

zum Beispiel, wenn alle Kugeln in z=0 liegen, wie in
(0,0,0), (0,12,0), (7.5,0,0) mit den Radien (15,7.5,12).

Außerdem habe ich beim Beispiel von wernerrin mal die x und z Werte vertauscht, und andere Werte erhalten. Der Achsen-Wechsel sollte eigentlich die Koordinaten (auch getauscht) erhalten.

Im Endeffekt will ich wissen, wo die zwei möglichen Schnittpunkte sind (siehe Bild).

Ich bin schon ein bisschen verzweifelt und wäre für Hilfe wirklich sehr dankbar!

Johannes Buchner

14.02.2007, 10:19

riwe

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RE: Drei Kugeln schneiden
zu deinem beispiel mit z = 0 ein bilderl.

und wenn ich es (zu fuß, also fehler vorbehalten verwirrt

verwirrt

) rechne, bekomme ich als (eine) schnittgerade:
$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 9.1500 \\ 26.0625 \\ 0 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
geschnitten mit K1 liefert
$\begin{eqnarray*} t²=-537.9764 \end{eqnarray*}$
also existieren keine 2 schnittpunkte aller 3 kugeln, wie auch im bilderl zu sehen ist. unglücklich

unglücklich

rest muß ich erst genießen
werner

14.02.2007, 10:53

riwe

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RE: Drei Kugeln schneiden
variation meines beispiels:
K1(0/0/0/3)
K2(3/3/0/3)
k3(0/4/0/5)
ergibt
P(-3/0/0) und Q(0/0/-3)

K1(0/0/0/3)
K2(3/0/3/3)
k3(0/4/0/5)
ergibt
t² = - 5300, also wieder nix.
das wird ja auch die regel sein, dass sich 3 kreise NICHT in 2 punkten schneiden.
also fehler abfangen. verwirrt

verwirrt

werner

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15.02.2007, 13:10

JohannesBuchner

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Ja, natürlich!
Ich Schwammerl ... Ich hab gedacht die Kugeln schneiden sich immer ...
Aber am Bild sieht man sehr gut, dass der Schnittkreis der kleineren Kugeln (rode Linie im Anhang) innerhalb der grossen Kugel liegt und deshalb keine Schnittpunkte haben kann...

Danke für die Hilfe, ich werd wohl eine andere Möglichkeit finden müssen. Vielleicht eine Anordnung der Kugelpositionen, wo das seltener vorkommt....

Johannes

15.02.2007, 14:45

riwe

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aus reiner neugierde:
wozu brauchst du das verwirrt

verwirrt

werner

15.02.2007, 16:47

Nuts

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hm.... meiner meinung nach dürften sich 3 Kugeln auch nur in mindestens 3 Punkten schneiden sei denn einer liegt von den beiden weg oder alle drei liegen auseinander. verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

16.02.2007, 15:27

JohannesBuchner

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@wernerrin: hehe. Kann ich dir nicht sagen, sonst müsst ich dich umbringen ... lassen ... ;-) Ist ein streng geheimes Projekt ...

@nuts: schau mal auf Seite http://www.aulis.de/zeitschriften/ergaen...ln_beweisen.pdf
Seite 4 stellt es ganz passabel dar. (S1, S2)

Teilweise hab ich mich auch auf http://de.wikipedia.org/wiki/GPS-Technologie gestützt.

16.02.2007, 16:10

Nuts

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[quote]Original von JohannesBuchner
@nuts: schau mal auf Seite http://www.aulis.de/zeitschriften/ergaen...ln_beweisen.pdf
Seite 4 stellt es ganz passabel dar. (S1, S2)

ich finde da keine Darstellung wo 3Kugeln 3 Schnittpunkte haben :-x
[kanns ein dat ich die übersehen hab]

ich hab ja nur gesagt rein vom logischen dürfte das net klappen, sei denn es wären Berührpunkte und keine SChnittpunkte ;-)

aber der R3 is eh unnormal^^ LOL Hammer

LOL Hammer

16.02.2007, 16:49

riwe

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Zitat:

Original von Nuts

ich finde da keine Darstellung wo 3Kugeln 3 Schnittpunkte haben :-x
[kanns ein dat ich die übersehen hab]

ich hab ja nur gesagt rein vom logischen dürfte das net klappen, sei denn es wären Berührpunkte und keine SChnittpunkte ;-)

aber der R3 is eh unnormal^^ LOL Hammer

LOL Hammer

wenn du den beitrag von Leopold gelesen hast, müßte klar sein, dass 3 kugeln höchstens 2 punkte gemeinsam haben können. daher wirst du auch vergeblich suchen.
wener

16.05.2007, 19:57

Poff

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Werner, das scheint mir so nicht ganz zutreffend.

Null, Eins, Zwei oder Unendlich viele Schnittpunkte sollten es sein.
Das steht aber nicht gegen Leopolds Beitrag.

16.05.2007, 21:20

riwe

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Zitat:

Original von Poff
Werner, das scheint mir so nicht ganz zutreffend.

Null, Eins, Zwei oder Unendlich viele Schnittpunkte sollten es sein.
Das steht aber nicht gegen Leopolds Beitrag.

jetzt wo du das sagst, sehe ich es auch.
hoffe ich zumindest

sind das solche wie:
$\begin{eqnarray*} K_1(M_1(0/0/0);3), K_2(M_2(2/0/0);3), K_3(M_3(1/0/0);2\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$
verwirrt

verwirrt

und es ging ja um 3, die gibt es doch nicht
werner

16.05.2007, 22:06

Poff

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Nein, mit 3 ist nichts.

Ja genau solche Kugeln sind das, die haben die kompletten Schnittkreise gemeinsam.

16.05.2007, 22:19

riwe

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danke schön
werner

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