Schnittpunkte dreier Kugeln

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erik Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittpunkte dreier Kugeln
Wenn sich drei (geg.) Kugeln in zwei Punkten schneiden, wie kann man diese Schnittpunkte dann berechnen?

gegebene Kugeln heißt:
- ich hab die Mittelpunkte und Radien
- damit kann ich die Schnittkreise mit Mittelpunkten und Radien berechnen
- da es aber im R3 keine Kreisgleichung gibt kann man den Schnittpunkt leider nicht so einfach berechenen
- ich hab außerdem die Schnittgerade die sich aus den Ebenen ergibt, mit deren Hilfe ich wiederum die Schnittkreise gewonnen hatte.

Die Schnittpunkte müssen auf der Schnittgerade, auf den Schnittkreisen und auf den Kugeln liegen - nur wie kann ich sie berechnen?

(Ich brauch das für meine Facharbeit. Ich bin schon seit Ewigkeiten am Grübeln, aber irgendwie is mir noch kein Licht aufgegangen)
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du zwei Kugelgleichungen voneinander subtrahierst, erhältst du eine Ebenengleichung. Das ist die Gleichung derjenigen Ebene, in der der Schnittkreis liegt. Statt die Kugeln miteinander zu schneiden, kannst du daher auch eine der Kugeln mit dieser Ebene schneiden:




Und bei drei Kugeln müßte es so gehen:

Es seien die Ebenen, in denen die Schnittkreise bzw. bzw. liegen. Dann gilt:



ist aber eine Gerade. Damit ist alles zurückgeführt auf das Problem Schnitt von Gerade und Kugel.

Bei dieser Überlegung (ich hoffe, sie stimmt, ich bin mir da im Moment etwas unsicher) ist allerdings vorausgesetzt, daß sich die drei Kugeln in zwei Punkten schneiden. Das muß gegebenenfalls vorher irgendwie anders überprüft werden. Denn die Ebenen, die durch Subtraktion der Kugelgleichungen entstehen, existieren auch dann, wenn die Kugeln sich gar nicht schneiden. Man darf also nicht einfach naiv darauf losrechnen. (Es könnte aber sein, daß auch bei naiver Rechnung das Richtige herauskommt, weil dann die Gerade am Schluß die Kugel nicht schneidet. Ich kann das nicht völlig überblicken.)
 
 
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

zumindest bei




stimmt alles



geschnitten mit liefert
und und damit
und

Gott werner
JohannesBuchner Auf diesen Beitrag antworten »
Drei Kugeln schneiden
Hallo!

Ich hab mich jetzt eine Woche mit dem Thema beschäftigt, weil ich einen Weg suche, die Schnittpunkte in Abhängigkeit von den Radien zu berechnen (Natürlich immer vorausgesetzt, dass die Radien groß genug sind), mit fixen Kugelpositionen.

Meine Unterlagen findet ihr unter
http://stud4.tuwien.ac.at/~e0625457/projekte/kugeln/

Das Beispiel von wernerrin hab ich ganz toll nachvollzogen, aber bei vielen anderen Angaben finde ich keine richtige Lösung. Siehe Datei bsp1, bsp2 in meinen Unterlagen.

zum Beispiel, wenn alle Kugeln in z=0 liegen, wie in
(0,0,0), (0,12,0), (7.5,0,0) mit den Radien (15,7.5,12).

Außerdem habe ich beim Beispiel von wernerrin mal die x und z Werte vertauscht, und andere Werte erhalten. Der Achsen-Wechsel sollte eigentlich die Koordinaten (auch getauscht) erhalten.

Im Endeffekt will ich wissen, wo die zwei möglichen Schnittpunkte sind (siehe Bild).

Ich bin schon ein bisschen verzweifelt und wäre für Hilfe wirklich sehr dankbar!

Johannes Buchner
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Drei Kugeln schneiden
zu deinem beispiel mit z = 0 ein bilderl.

und wenn ich es (zu fuß, also fehler vorbehalten verwirrt ) rechne, bekomme ich als (eine) schnittgerade:

geschnitten mit K1 liefert

also existieren keine 2 schnittpunkte aller 3 kugeln, wie auch im bilderl zu sehen ist.unglücklich

rest muß ich erst genießen
werner
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Drei Kugeln schneiden
variation meines beispiels:
K1(0/0/0/3)
K2(3/3/0/3)
k3(0/4/0/5)
ergibt
P(-3/0/0) und Q(0/0/-3)

K1(0/0/0/3)
K2(3/0/3/3)
k3(0/4/0/5)
ergibt
t² = - 5300, also wieder nix.
das wird ja auch die regel sein, dass sich 3 kreise NICHT in 2 punkten schneiden.
also fehler abfangen. verwirrt
werner
JohannesBuchner Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, natürlich!
Ich Schwammerl ... Ich hab gedacht die Kugeln schneiden sich immer ...
Aber am Bild sieht man sehr gut, dass der Schnittkreis der kleineren Kugeln (rode Linie im Anhang) innerhalb der grossen Kugel liegt und deshalb keine Schnittpunkte haben kann...

Danke für die Hilfe, ich werd wohl eine andere Möglichkeit finden müssen. Vielleicht eine Anordnung der Kugelpositionen, wo das seltener vorkommt....

Johannes
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

aus reiner neugierde:
wozu brauchst du das verwirrt
werner
Nuts Auf diesen Beitrag antworten »

hm.... meiner meinung nach dürften sich 3 Kugeln auch nur in mindestens 3 Punkten schneiden sei denn einer liegt von den beiden weg oder alle drei liegen auseinander. verwirrt verwirrt verwirrt verwirrt
JohannesBuchner Auf diesen Beitrag antworten »

@wernerrin: hehe. Kann ich dir nicht sagen, sonst müsst ich dich umbringen ... lassen ... ;-) Ist ein streng geheimes Projekt ...

@nuts: schau mal auf Seite http://www.aulis.de/zeitschriften/ergaen...ln_beweisen.pdf
Seite 4 stellt es ganz passabel dar. (S1, S2)

Teilweise hab ich mich auch auf http://de.wikipedia.org/wiki/GPS-Technologie gestützt.
Nuts Auf diesen Beitrag antworten »

[quote]Original von JohannesBuchner
@nuts: schau mal auf Seite http://www.aulis.de/zeitschriften/ergaen...ln_beweisen.pdf
Seite 4 stellt es ganz passabel dar. (S1, S2)

ich finde da keine Darstellung wo 3Kugeln 3 Schnittpunkte haben :-x
[kanns ein dat ich die übersehen hab]

ich hab ja nur gesagt rein vom logischen dürfte das net klappen, sei denn es wären Berührpunkte und keine SChnittpunkte ;-)

aber der R3 is eh unnormal^^ LOL Hammer
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Nuts

ich finde da keine Darstellung wo 3Kugeln 3 Schnittpunkte haben :-x
[kanns ein dat ich die übersehen hab]

ich hab ja nur gesagt rein vom logischen dürfte das net klappen, sei denn es wären Berührpunkte und keine SChnittpunkte ;-)

aber der R3 is eh unnormal^^ LOL Hammer


wenn du den beitrag von Leopold gelesen hast, müßte klar sein, dass 3 kugeln höchstens 2 punkte gemeinsam haben können. daher wirst du auch vergeblich suchen.
wener
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Werner, das scheint mir so nicht ganz zutreffend.

Null, Eins, Zwei oder Unendlich viele Schnittpunkte sollten es sein.
Das steht aber nicht gegen Leopolds Beitrag.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Poff
Werner, das scheint mir so nicht ganz zutreffend.

Null, Eins, Zwei oder Unendlich viele Schnittpunkte sollten es sein.
Das steht aber nicht gegen Leopolds Beitrag.


jetzt wo du das sagst, sehe ich es auch.
hoffe ich zumindest

sind das solche wie:

verwirrt

und es ging ja um 3, die gibt es doch nicht
werner
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, mit 3 ist nichts.

Ja genau solche Kugeln sind das, die haben die kompletten Schnittkreise gemeinsam.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

danke schön
werner
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