Basen von Eigenräumen bestimmen

25.01.2012, 14:25	Kallinski	Auf diesen Beitrag antworten »
Basen von Eigenräumen bestimmen Meine Frage: Hey, ich habe eine Aufgabe wo ich nicht weiter komme und schon langsam völlig verwirrt bin. Ich soll Basen von Eigenräumen einer Matrix bestimmen. Die Matrix A lautet: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 7 & -2 & 4 & -1 \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\ -\frac{15}{5} & \frac{7}{2} & -\frac{9}{2} & 1 \\ 7 & -3 & 5 &0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun soll ich die Basen zu den Eigenräumen berechen: Eig(A,0), Eig(A,1), Eig(A,2) Meine Ideen: Ich hab mir schon zig Threads durchgelesen aber irgendwie verwirrt mich das alles. Ich habe die Formel gefunden:Eig(A,x)=ker(A-x*E) für Eig(A,0) wäre das ja nun ker(A). Aber wie gehts weiter? Und wie bestimme ich dann die Basen wenn ich den Eigenraum habe? Vielen vielen Dank schonmal
25.01.2012, 15:57	bensa	Auf diesen Beitrag antworten »
0, 1, 2 sind die Eigenwerte der Matrix A bzw. der A zugeordneten linearen Abbildung. Sei das hier $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ . Das z.B. 2 Eigenwert ist, heißt dann folgendes: $\begin{eqnarray} \phi(x)=2x \end{eqnarray}$ , wobei x ungleich 0 ist. (Also ein sogenannter Eigenvektor x zum Eigenwert 2 wird durch phi auf das 2-fache von sich selbst abgebildet). Diese Gleichung kannst du umformen und erhältst folgende Bedingung für x: $\begin{eqnarray} (\phi-2id)(x)=0 \end{eqnarray}$ () Den Eigenraum zum Eigenwert 2 zu bestimmen, heißt nun die Menge aller x zu bestimmen welche diese bedingung erfüllen. Dafür musst du () nur in Matrix-Schreibweise übersetzen (phi = A, 2id= 2*einheitsmatrix). Das heißt du ziehst von der Hauptdiagonalen die 2 ab (=: B) und multiplizierst diese Matrix B mit einem allgemeinen Vektor (x1, x2, x3, x4). Dieses Produkt muss den Nullvektor ergeben. Der Eigenraum ist nun der Lösungsraum dieses homogenen Gleichungsystems. Um eine Basis für diesen Lösungsraum zu bestimmen, musst du aber erstmal wissen was für eine Dimension der Lösungsraum hat. Dafür ermittelst du den Rang von B. Die Dimension des Lösungsraums ist dann "Anzahl der Unbekannten - Rang der Matrix" (siehe: http://de.wikipedia.org/wiki/Rangsatz -> Der Kern ist in diesem Fall der gesuchte Lösungsraum). Nachdem du die Dimension des Lösungsraums bestimmt hast, weisst du wieviele linear unabhängige Vektoren du benötigst um den Lösungsraum aufzuspannen. Diese suchst du dir jetzt, indem du guckst, was für Vektoren das LGS erfüllen. Sind diese Vektoren linear unabhängig bilden sie eine Basis für den gesuchten Eigenraum. Fertig. Gruß bensa
25.01.2012, 19:05	Kallinski	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok hab vielen Dank. Werde mal schauen ob ich das hinbekomme. Super Erklärung

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