Dimensionsformel für Schnitt und Summe mehrerer Untervektorräume

25.01.2012, 15:16	murgel	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimensionsformel für Schnitt und Summe mehrerer Untervektorräume Hallo, ich habe Schwierigkeiten beim Beweis der folgenden Formel aus dem Bereich der linearen Algebra. Die zu zeigende Aussage lautet: Es seien $\begin{eqnarray} U_1,...,U_k \end{eqnarray}$ Untervektorräume eines n-dimensionalen Vektorraums V. Dann gilt: $\begin{eqnarray} dim(U_1\cap ...\cap U_k)\ge dim(U_1)+...+dim(U_k)-(k-1)n \end{eqnarray}$ Beim Beweis würde ich wie folgt ansetzen: Sei $\begin{eqnarray} (x_1,...,x_p) \end{eqnarray}$ eine Basis von $\begin{eqnarray} U_1\cap ...\cap U_k \end{eqnarray}$ . Diese Basis lässt sich zu Basen der einzelnen Untervektorräume erweitern, sodass $\begin{eqnarray} (x_1,...,x_p,y_{i,1},...,y_{i,p_i}) \end{eqnarray}$ eine Basis von $\begin{eqnarray} U_i \end{eqnarray}$ ist, d.h. $\begin{eqnarray} dim(U_i)=p+p_i \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} i=1,...,k \end{eqnarray}$ . Leider weiß ich nicht, wie ich die Dimension der $\begin{eqnarray} U_i \end{eqnarray}$ besser abschätzen soll als $\begin{eqnarray} dim(U_i)\le n \end{eqnarray}$ . Ich wäre für jede Anregung/Hilfe dankbar.
25.01.2012, 15:29	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich höre hier die Aufgabe nach Induktion schreien.
25.01.2012, 21:31	murgel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube ich habe ihr Rufen jetzt auch gehört und mir folgenden Beweis überlegt: Wir führen Induktion über k. Induktionsanfang (k=2): $\begin{eqnarray} dim(U_1\cap U_2)=dim(U_1)+dim(U_2)-dim(U_1+U_2)\ge dim(U_1)+dim(U_2)-n=dim(U_1)+dim(U_2)-(2-1)n \end{eqnarray}$ (Die erste Gleichung gilt bereits nach einem Lemma, muss daher nicht mehr gezeigt werden.) Induktionsvoraussetzung: Für k Unterräume $\begin{eqnarray} U_1,...,U_k \end{eqnarray}$ gelte bereits die Behauptung. Induktionsschritt ( $\begin{eqnarray} k\rightarrow k+1 \end{eqnarray}$ ): Es gilt: $\begin{eqnarray} dim(U_1)+...+dim(U_{k+1})-(k+1-1)n=dim(U_1)+...+dim(U_{k+1})-(k-1)n-n\stackrel{\mathrm{I.V.}}\le dim(U_1\cap ...\cap U_k)+dim(U_{k+1})-n<br /> \le dim(U_1\cap ...\cap U_k)+dim(U_{k+1})-dim(U_1\cap ...\cap U_k +U_{k+1})=dim(U_1\cap ...\cap U_k\cap U_{k+1}) \end{eqnarray}$ Damit ist die Behauptung für alle k gezeigt. $\begin{eqnarray} \hfill\Box \end{eqnarray}$ Ist das so richtig? Gruß murgel
26.01.2012, 07:22	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »