Grenzwert x^x

25.01.2012, 16:25	Lipton3000	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert x^x Hallo, Es geht um folgenden Grenzwert: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to } x^{x} = \lim_{x \to 0} e^{x log x} = e^{0} = 1 \end{eqnarray*}$ Mir ist nicht klar warum genau das so ist. x geht gegen 0 und log x geht gegen - unendlich. Wieso geht das Produkt dann gegen 0? Edit (mY+): LaTeX berichtigt.
25.01.2012, 16:28	Lipton3000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups, sorry! $\begin{eqnarray} \lim_{x \to } x^{x} = \lim_{x \to 0} e^{x log x} = e^{0} = 1 \end{eqnarray*}$
25.01.2012, 16:31	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
SO ist es ja auch nicht richtig gerechnet, bzw. noch nicht fertig. Ich nehme an, es ist L'Hospital anzuwenden. Dazu muss das Produkt xln(x) in einen Bruch umgewandelt werden, bei dem sich eine "Unbestimmte Form" ergibt (z.B. Zähler und Nenner gehen gegen Unendlich). $\begin{eqnarray} x \cdot \ln x = \frac {\ln x}{\frac 1 x } \end{eqnarray*}$ mY+
25.01.2012, 16:34	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder aber man benutzt die Aussage, dass der Logarithmus schwächer als jede positive Potenz wächst, d.h. für $\begin{eqnarray} a\in\mathbb R_+^ \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x\to 0}x^a\cdot\ln(x)=0 \end{eqnarray*}$ , dann gehts auch ohne L'Hospital.
25.01.2012, 16:37	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
. [Bei "gegen Unendlich" kann das nicht stimmen.] EDIT: Du hast es editiert, alles klar. mY+
25.01.2012, 16:42	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Tatsache, da habe ich die beiden Aussagen zu einer einzigen kombiniert (die zweite wäre dann natürlich $\begin{eqnarray} \frac {\ln(x)}{x^a}=0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\to\color{red}\infty \end{eqnarray}$ ). Danke für den Hinweis.
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