Funktionsschar dritten Grades

25.01.2012, 16:50

OPÜ

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Funktionsschar dritten Grades

Nr. 8) Die Graphen einer ganzrationalen Funktionsschar dritten Grades gehen durch die Punkte P(0|0), Q(2|0) und R(4|1).
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Funktionsschar.
Welcher Graph der Funktionsschar hat im Punkt P(0|0) einen Tiefpunkt?

Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} f(x) = ax^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray*}$

-----------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} f(0) = 0a+0b+0c+d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(2) = 8a+4b+2c+d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(4) = 64a+16b+4c+d \end{eqnarray*}$

Wie komme ich nun weiter?

Danke!

Gruß
OPÜ

25.01.2012, 16:56

lgrizu

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RE: Funktionsschar dritten Grades
Na, setz halt noch die y Werte ein und löse das LGS.

25.01.2012, 17:02

OPÜ

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RE: Funktionsschar dritten Grades
$\begin{eqnarray*} 0 = d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 8a+4b+2c+d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 = 64a+16b+4c+d \end{eqnarray*}$

und wie soll ich das lösen? Mit dem Gauß?
`

25.01.2012, 17:03

lgrizu

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RE: Funktionsschar dritten Grades
Zuerst einmal ist d=0, das würde ich in allen anderen Gleichungen sofort verarbeiten. und dann ist Gauß doch eine gute Idee.

25.01.2012, 17:18

OPÜ

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RE: Funktionsschar dritten Grades
$\begin{eqnarray*} I: 0 = 8a+4b+2c \end{eqnarray*}$ |*2

$\begin{eqnarray*} II: 1 = 64a+16b+4c \end{eqnarray*}$
----
$\begin{eqnarray*} I: 0 = 16a+9b+4c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} II: 1 = 64a+16b+4c \end{eqnarray*}$ | -I
----
$\begin{eqnarray*} I: 0 = 16a+9b+4c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} II: 1 = 48a-7b \end{eqnarray*}$ |:3
----
$\begin{eqnarray*} I: 0 = 16a+9b+4c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} II: 1 = 16a-(7/3)b \end{eqnarray*}$ |- I
----
$\begin{eqnarray*} I: 0 = 16a+9b+4c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} II: 1 = -(11 1/3)b \end{eqnarray*}$

Ich geb's auf unglücklich

unglücklich

25.01.2012, 17:31

lgrizu

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RE: Funktionsschar dritten Grades
4*2=8, das sollte klar sein (Tippfehler und damit weitergerechnet?)

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25.01.2012, 17:35

OPÜ

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RE: Funktionsschar dritten Grades
Ja, Tippfehler und weitergerechnet.

$\begin{eqnarray*} I: 0 = 8a+4b+2c \end{eqnarray*}$ |*2

$\begin{eqnarray*} II: 1 = 64a+16b+4c \end{eqnarray*}$
----
$\begin{eqnarray*} I: 0 = 16a+8b+4c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} II: 1 = 64a+16b+4c \end{eqnarray*}$ | -I
----
$\begin{eqnarray*} I: 0 = 16a+8b+4c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} II: 1 = 48a+8b \end{eqnarray*}$ | -I
----
$\begin{eqnarray*} I: 0 = 16a+8b+4c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} II: 1 = 32a-4c \end{eqnarray*}$ | -I

und jezt?
Braucht man nicht noch eine dritte Gleichung?

25.01.2012, 17:44

lgrizu

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RE: Funktionsschar dritten Grades
Es handelt sich um eine Funktionenschar, also mindestens ein Parameter wird übrig bleiben (in diesem Fall genau eins, da es sich um eine Einparamterige Funktionenschar hamdelt).

Stelle nun zum Beispiel c in Abhängigkeit von a dar oder andersherum. Setze das Ergebnis dann ein und stelle b in Abhängigkeit von a dar.

25.01.2012, 17:47

OPÜ

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Ich verstehe nicht, was du mit der Abhängigkeit meinst. unglücklich

unglücklich

Könntest du es einmal vorrechnen, damit ich es endlich verstehe. 3 Stunden sitze ich an der Aufgabe schon ...

Dafür wäre ich sehr dankbar.

Gruß,
OPÜ

25.01.2012, 17:51

lgrizu

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Du hast doch nun die Gleichung $\begin{eqnarray*} 48a+8b=1 \end{eqnarray*}$ .

Löse diese einmal nach b auf (oder nach a)

25.01.2012, 17:55

OPÜ

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Zitat:

Original von lgrizu
Du hast doch nun die Gleichung $\begin{eqnarray*} 48a+8b=1 \end{eqnarray*}$ .

Löse diese einmal nach b auf (oder nach a)

$\begin{eqnarray*} 48a+8b=1 \end{eqnarray*}$ |-48a

$\begin{eqnarray*} 8b=1-48a \end{eqnarray*}$ |:8

$\begin{eqnarray*} b=(1/8) - 6a \end{eqnarray*}$

25.01.2012, 18:02

lgrizu

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Na also, jetzt setze diesen b in eine der beiden Gleichungen ein und löse nach c auf, dann hast du b und c in Abhängigkeit von a dargestellt.

25.01.2012, 18:05

OPÜ

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In eine der beiden Ausgangsgleichungen?

25.01.2012, 18:07

lgrizu

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Jap

25.01.2012, 18:10

OPÜ

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RE: Funktionsschar dritten Grades
$\begin{eqnarray*} I: 0 = 8a+4*(0,125-6a)+2c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I: 0 = 8a+0,5-24a+2c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I: 0 = -16a+2c+0,5 \end{eqnarray*}$

25.01.2012, 18:12

lgrizu

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RE: Funktionsschar dritten Grades
Und nach c auflösen.

25.01.2012, 18:16

OPÜ

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RE: Funktionsschar dritten Grades
$\begin{eqnarray*} I: 0 = -16a+2c+0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I: -2c = -16a+0,5 \end{eqnarray*}$ | unglücklich

unglücklich

-2)

$\begin{eqnarray*} I: c = 8a-0,25 \end{eqnarray*}$

Und das wieder in die Ausgangsgleichung einsetzen? Big Laugh

Big Laugh

25.01.2012, 18:56

lgrizu

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RE: Funktionsschar dritten Grades
Nein, jetzt a, b und c in die Funktionsgleichung einsetzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.01.2012, 18:59

OPÜ

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Habe ich überhaupt schon?

25.01.2012, 19:00

OPÜ

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*a

25.01.2012, 19:02

lgrizu

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Okay, die letzten beiden Posts sagen mir gar nichts, du darfst ruhig etwas ausführlicher sein.

25.01.2012, 19:03

OPÜ

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Ich sehe nur, dass wir b und c berechnet haben. Aber für a kann ich nichts finden, was ich einsetzen könnte.

25.01.2012, 19:04

lgrizu

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Na, b und c hängen doch von a ab, a ist also dein Scharparameter, das bleibt.

25.01.2012, 19:07

OPÜ

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$\begin{eqnarray*} f(x) = ax^3 + (0,125-6a)*x^2+(8a-0,25)*x+d \end{eqnarray*}$

Jetzt nur noch ausmultiplizieren und zusammenfassen? Was ist mit dem d? Kann das einfach wegfallen?

25.01.2012, 19:09

OPÜ

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$\begin{eqnarray*} fa(x) = ax^3 -6a(x^2)+(1/8)*(x^2)+8ax-(1/4) \end{eqnarray*}$

Das wäre dann fa(x)?

25.01.2012, 19:15

OPÜ

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und bei der b) Welcher Graph der Funktionsschar hat im Punkt P(0|0) einen Tiefpunkt?

Erstmal Ableitung bilden und dann? Oder in fa(x) den Punkt einsetzen?

25.01.2012, 20:14

OPÜ

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Bitte, ich brauche das für morgen Big Laugh

Big Laugh

25.01.2012, 20:21

lgrizu

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In fa(x) einsetzen bringt überhaupt nichts, da der Punkt (0,0) ein Punkt jedes Graphen dieser Schar ist.

Ableitung bilden und a so bestimmen, dass diese an der Stelle x=0 verschwindet.

Ich war eine Zeit lang nicht online, das ist nicht mein Beruf hier, ich habe zwischenzeitig auch anderes zu tun...

25.01.2012, 20:24

OPÜ

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Sorry, ich wollte niemandem zu Nahe treten.

$\begin{eqnarray*} fa(x) = ax^3 -6a(x^2)+(1/8)*(x^2)+8ax-(1/4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'a(x) = 3ax^2 -12a(x)+(1/4)*(x)+8a \end{eqnarray*}$

und wie bestimme ich das a jetzt? Der letzte Schritt Big Laugh

Big Laugh

25.01.2012, 20:32

lgrizu

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Was ist denn die notwendige Bedingung für eine Extremstelle?

25.01.2012, 20:36

OPÜ

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$\begin{eqnarray*} Notw. Bed. : f'a(x) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'a(x) = 3ax^2 -12a(x)+(1/4)*(x)+8a =0 \end{eqnarray*}$

25.01.2012, 20:39

lgrizu

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Genau, nun noch die Stelle einsetzen, an der ein Extremum liegen soll und a ausrechnen.

25.01.2012, 20:40

OPÜ

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Ahhhhh, also für x noch 0 einsetzen und dann nach a auflösen?

OMG, ich habe es endlich hinter mir. Vielen, vielen Dank!

Gruß

25.01.2012, 20:45

lgrizu

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Genau, x=0 einestzen und nach a auflösen.

25.01.2012, 20:46

OPÜ

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$\begin{eqnarray*} f'a(x) = 3a*0^2 -12a*(0)+(1/4)*(0)+8a =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 -0+0+8a =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a =0 \end{eqnarray*}$

Nein, das kann nicht sein?

25.01.2012, 20:51

lgrizu

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Zitat:

Original von OPÜ
Sorry, ich wollte niemandem zu Nahe treten.

$\begin{eqnarray*} fa(x) = ax^3 -6a(x^2)+(1/8)*(x^2)+8ax-(1/4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'a(x) = 3ax^2 -12a(x)+(1/4)*(x)+8a \end{eqnarray*}$

Hioer stimmt einiges nicht.

Du hast b und c doch richtig ausgerechnet, es ist also

$\begin{eqnarray*} f_a(x)=ax^3+\left( \frac{1}{8}-6a\right) x^2+ \left( -\frac{1}{4}+8a \right) x \end{eqnarray*}$

1/4 gehört also zu dem Koeffizienten von x.

Nun leite einmal (richtig) ab.

25.01.2012, 20:54

OPÜ

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Ich dachte man könnte die Klammern ausmultiplizieren...

naja ... muss ich jetzt die Kettenregel gebrauchen?

25.01.2012, 20:58

OPÜ

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Sorry, Produktregel natürlich....

25.01.2012, 21:01

OPÜ

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$\begin{eqnarray*} f_a(x)=ax^3+\left( \frac{1}{8}-6a\right) x^2+ \left( -\frac{1}{4}+8a \right) x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'_a(x)=3ax^2+\left( \frac{1}{8}-6a\right) x^2 + x^2 + \left( -\frac{1}{4}+8a \right)+x \end{eqnarray*}$

25.01.2012, 21:01

lgrizu

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Du kannst die Klammern auch ausmultiplizieren, und Kettenregel benötigt man nicht, wie kommst du denn darauf? verwirrt

verwirrt

Dennoch ist, wenn man ausmultipliziert

$\begin{eqnarray*} f_a(x)=ax^3+\left( \frac{1}{8}-6a\right) x^2+ \left( -\frac{1}{4}+8a \right) x=ax^3+\frac{1}{8}x^2-6ax^2 -\frac{1}{4}x+8a x \neq ax^3 -6a(x^2)+(1/8)*(x^2)+8ax-(1/4) \end{eqnarray*}$

Wie gesagt, es sollte $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}x \end{eqnarray*}$ lauten und nicht einfach nur 1/4, denn dass der Koeffizient von $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$ verschwindet wurde doch schon am Anfang herausgefunden.

Aber egal, wie du es schreibst, Kettenregel ist unnötig.

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