Extremwerte unter Nebenbedingungen finden (Lagrange)

25.01.2012, 16:56

Feete

Extremwerte unter Nebenbedingungen finden (Lagrange)

Hallo ihr Lieben,

ich habe wiedermal eine Aufgabe im Rahmen meiner Analysis II Vorlesung bekommen und könnte ein wenig Hilfe gebrauchen.

Um folgende Aufgabe geht es dabei:

Bestimmen Sie den größten und den kleinsten Wert, den die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=2x-yz \end{eqnarray*}$

unter den Nebenbedingungen $\begin{eqnarray*} x+y-z=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^2+y^2+z^2=6 \end{eqnarray*}$ annimmt.

Folgendes habe ich berechnet (nach dem Verfahren aus meiner Vorlesung):

Mit den gegebenen Bedingungen und Nebenbedingungen und deren Gradienten habe ich ein Gleichungssystem mit 5 Gleichungen und 5 Unbekannten.

$\begin{eqnarray*} 2= \lambda +2x\mu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -z=\lambda+ 2y\mu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -y= -\lambda + 2z\mu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0= x+y-z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6= x^2+y^2+z^2 \end{eqnarray*}$

Die 2. + die 3. Gleichung ergibt nun:

$\begin{eqnarray*} -z-y=2y\mu+2z\mu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1(z+y) = 2\mu (y+z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1= 2\mu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -0,5= \mu \end{eqnarray*}$

Das ergibt für die Gleichungen oben:

$\begin{eqnarray*} 2= \lambda - x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -z = \lambda -y \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda = -z+y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = x+y-z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6= x^2+y^2+z^2 \end{eqnarray*}$

Mit dem Ergebniss für Lambda werden die oben stehenden Formeln zu:

$\begin{eqnarray*} 2=-z+y-x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0= x+y-z \Rightarrow z=x+y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6= x^2+y^2+z^2 \end{eqnarray*}$

Mit dem Ergebnis für z ergibt das:

$\begin{eqnarray*} 2= -x-y+y-x \Rightarrow -1=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3= x^2+y^2+xy \end{eqnarray*}$

und miit x=-1 ergibt das:

$\begin{eqnarray*} 0= y^2-y-2 \end{eqnarray*}$

y kann also zwei werte annehmen:

namlich: $\begin{eqnarray*} y_1= -1 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} y_2=2 \end{eqnarray*}$

Nun lassen sich alle Variablen berechnen. Ich liste die hier nur nochmal auf:

Für $\begin{eqnarray*} y_1=-1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} x= -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mu=-0,5 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} y_2= 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mu= -0,5 \end{eqnarray*}$

Ab hier bin ich mir nicht mehr ganz sicher ob das alles so richtig ist was ich gemacht habe! Ich habe jetzt einfach die Werte für x,y,z in f(x,y,z) eingesetzt und bekomme für:

$\begin{eqnarray*} P_1=(-1,-1,-2) \Rightarrow f(-1,-1,-2)=-4 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} P_2=(-1,2,1) \Rightarrow f(-1,2,1)= -4 \end{eqnarray*}$
raus!

In der Vorlesung haben wir dann gesagt das bei den Punkten $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ je nach Wert ein Minimum oder Maximum existiert!

Aber wie habe ich das denn hier zu interpretieren? Zwei Minima gehen ja wohl nicht!
Oder bin ich vollkommen falsch an die Aufgabe rangegangen und habe garnicht die größten und kleinsten Werte berechnet? Oder vlt. sogar irgendwo nen Schusselfehler?
Wenn jemand Ahnung hat wäre es schön wenn man mal rüberschaut. Für Erklärungen und Anregungene bin ich sehr dankbar!

25.01.2012, 17:33

Dopap

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