Logarithmus Ungleichung zur Wurzel

25.01.2012, 17:44	alhoce	Auf diesen Beitrag antworten »
Logarithmus Ungleichung zur Wurzel Meine Frage: Ich bräuchte einen Beweis für folgende Ungleichung: $\begin{eqnarray} \sqrt{x} \geq ln(x) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Es dürfte über die Ableitung funktionieren, indem man zeigt, dass die Wurzelfunktion ab einem Wert stärker steigt, als die Logarithmusfunktion und das sie hier auch noch größer ist, als ln(x). Aber ich hoffe es gibt einen eleganteren Weg.
26.01.2012, 18:57	wdposchmann	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Logarithmus Ungleichung zur Wurzel Hi, also ich würde die rechte Seite folgendermaßen umschreiben: $\begin{eqnarray} \ln(x) = \ln(\sqrt{x}^2) = 2 \ln(\sqrt{x}) \end{eqnarray}$ . Dann hast du als Ungleichung $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{x}}{2} \geq \ln(\sqrt{x}) \end{eqnarray}$ da stehen. Jetzt kannst du noch die Exponentialfunktion anwenden und diese dann als Reihe darstellen, dann kommst du drauf (darfst du die verwenden bzw. kennst du die schon?). Gruß EDIT: Ich seh grad, das wäre ein Umweg. Du kannst auch einfach gleich die Exponentialfunktion anwenden, so dass da steht $\begin{eqnarray} e^{\sqrt{x}} \geq x \end{eqnarray}$ und dann mit der Reihenentwicklung rangehen.
30.01.2012, 13:25	alhoce	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Logarithmus Ungleichung zur Wurzel Hey, wir hatten die Reihendarstellung bereits, aber ich komm trotzdem nicht wirklich weiter dadurch. Vielleicht könntest du dein Vorgehen noch ein wenig ausführen. Gruß
01.02.2012, 20:22	wdposchmann	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Logarithmus Ungleichung zur Wurzel Hi, sorry für die späte Antwort, hoffe, dir hilft die Lösung jetzt noch was? Also die Reihendarstellung für $\begin{eqnarray} e^{\sqrt{x}} \end{eqnarray}$ ist ja $\begin{eqnarray} e^{\sqrt{x}} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sqrt{x}^k}{k!} \end{eqnarray}$ . Kennst du die Abschätzung der Exponentialfunktion nach unten? Diese findest du u.a. im Wikipedia Artikel. Es gilt $\begin{eqnarray} e^x \geq 1+x \end{eqnarray}$ also auch $\begin{eqnarray} e^{\sqrt{x}} \geq 1+\sqrt{x} \end{eqnarray}$ . Wir waren ja jetzt so weit gekommen, dass wir $\begin{eqnarray} e^{\sqrt{x}} \geq x \end{eqnarray}$ zeigen müssen, um die Ungleichung zu beweisen, was äquivalent ist zu $\begin{eqnarray} \frac{e^{\sqrt{x}}}{x} \geq 1 \end{eqnarray}$ . Nach der Abschätzung nach unten muss demnach auch gelten, dass $\begin{eqnarray} \frac{e^{\sqrt{x}}}{x} \geq \frac{1+\sqrt{x}}{x} \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} \frac{e^{\sqrt{x}}-1+\sqrt{x}}{x} \geq 0 \end{eqnarray}$ . Diese Gleichung kann man nun noch mit x multiplizieren, so dass man letztendlich nur noch $\begin{eqnarray} e^{\sqrt{x}}-1+\sqrt{x} \geq 0 \end{eqnarray}$ zu zeigen hat. Und hier benutzen wir jetzt die Reihendarstellung, so dass die Gleichung folgendermaßen aussieht: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sqrt{x}^k}{k!} -1 +\sqrt{x} \geq 0 \end{eqnarray}$ . Von der Reihe können wir nun einfach den ersten Term für k=0 ausschreiben und den Rest dann ab k=1 summieren: $\begin{eqnarray} 1+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sqrt{x}^k}{k!} -1 +\sqrt{x} \geq 0 \end{eqnarray}$ . Die 1 hebt sich also auf, sodass da steht: $\begin{eqnarray} \underbrace{\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sqrt{x}^k}{k!}}_{> 0} + \underbrace{\sqrt{x}}_{> 0} \geq 0 \end{eqnarray}$ , da die Ungleichung ja nur für x > 0 betrachtet wird (denn der Logarithmus ist ja nur dafür definiert). Hoffe, das war verständlich, bei Fragen melde dich einfach noch mal. Gruß
10.02.2012, 14:48	alhoce	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Logarithmus Ungleichung zur Wurzel Hi, ja, den Beweis hab ich nun verstanden. Danke

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