Grenzwert einer Folge

25.01.2012, 19:04

Matzemathiker

Grenzwert einer Folge

Grenzwert von $\begin{eqnarray*} (3 - \frac{1}{n}) ^{2} \end{eqnarray*}$ ?

also für g = 9 einsetzen, der grenzwert lässt sich ja schnell ablesen, nun noch formal sauber würde es dann heissen:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow | (3 - \frac{1}{n}) ^{2} - 9 | < \epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow | 9 - \frac{6}{n} + \frac{1}{n^{2}} - 9| < \epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow |- \frac{6}{n} + \frac{1}{n^{2}} | < \epsilon \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow | \frac{-6n+1}{n^{2} } | < \epsilon \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{6}{\epsilon} - 1 < n \end{eqnarray*}$

25.01.2012, 21:55

Christian_P

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Hi

Wäre es nicht einfacher den $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\left(3-\frac{1}{n}\right)^2 \end{eqnarray*}$ mit den Grenzwertsätzen zu beweisen?

Ich kann maximal bis $\begin{eqnarray*} \frac{1-6n}{n^2} \end{eqnarray*}$ vereinfachen, Ich kann den letzten Schritt nicht nachvollziehen. Wie hast du ihn gerechnet?

Grüße

25.01.2012, 22:30

Matzemathiker

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ich habe doch den grenzwertsatz benutzt oder sehe ich das falsch , dass ich das damit meine

$\begin{eqnarray*} | a_{n} - a | < \epsilon \end{eqnarray*}$

zu deiner frage wie darauf gekommen bin

also $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow | \frac{1 -6n}{n^{2} } | < \epsilon \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{6}{\epsilon} - 1 < n \end{eqnarray*}$

hier muss ich n auf eine seite bringen , wenn ich das richtig verstanden habe

aber ich merke grad selbst , dass ich mkch da vertüdelt habe unglücklich

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{6}{\epsilon} - 1 < n \end{eqnarray*}$ hier habe ich versucht $\begin{eqnarray*} n^{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ zu tauschen, dann die wurzel ziehen..ich hab da mist gebaut, aber wie komm ich da weiter ?

ich weiss, dass die folge beschränkt ist $\begin{eqnarray*} 4 \leq a_{n} < 9 \end{eqnarray*}$

25.01.2012, 23:26

Christian_P

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Da die Folge sich dem Grenzwert nur linksseitig nähert, könnte man vielleicht auch so etwas schreiben. Ich bin mir aber nicht ganz sicher.

$\begin{eqnarray*} \left(3-\frac{1}{n}\right)^2>9-\epsilon \end{eqnarray*}$

Die Differenz $\begin{eqnarray*} 9-\epsilon \end{eqnarray*}$ wird als positiv angenommen, dann kann man eindeutig nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ auflösen.

Mein Ergebnis ist nun: $\begin{eqnarray*} n>\frac{1}{-\sqrt{9-\epsilon}+3} \end{eqnarray*}$

z.B. Es sei $\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{1}{100} \end{eqnarray*}$ dann hätten wir $\begin{eqnarray*} n>\frac{1}{-\sqrt{9-\frac{1}{100}}+3}\approx 600\quad\rightarrow\quad n>600 \end{eqnarray*}$

Das heißt dann, ab dem Glied $\begin{eqnarray*} n=600 \end{eqnarray*}$ liegen fast alle Glieder der Folge in der Epsilon Umgebung (dem offenen Intervall) $\begin{eqnarray*} \left(9-\frac{1}{100};9\right) \end{eqnarray*}$

Ich bin leider auch kein Experte, aber vielleicht ist ja etwas hilfreiches dabei smile

Bis dann

EDIT: Hatte mich, glaube ich, in der Richtung der Kleiner-Relation vertan, habs mal geändert, wie ich denken, dass es richtig ist verwirrt

26.01.2012, 00:32

Matzemathiker

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huuih ich weiss nicht, ob ich das so übernehmen kann. ich verstehe auch noicht, warum man das so machen dürfte ?

jetzt bin ich noch mehr durcheinander als vorher verwirrt

26.01.2012, 09:04

klarsoweit

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RE: Grenzwert einer Folge

Zitat:

Original von Matzemathiker
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow | \frac{-6n+1}{n^{2} } | < \epsilon \end{eqnarray*}$

Bleiben wir mal bei dieser Ungleichung. Es ist:

$\begin{eqnarray*} | \frac{-6n+1}{n^2} | = \frac{6n-1}{n^2} < \frac{6n}{n^2} = \frac{6}{n} \end{eqnarray*}$

Wenn du nun ein n_0 findest, so daß $\begin{eqnarray*} \frac{6}{n} < \epsilon \end{eqnarray*}$ ist für alle n mit n > n_0, dann folgt auch, daß $\begin{eqnarray*} | \frac{-6n+1}{n^{2} } | < \epsilon \end{eqnarray*}$ ist und du wärst am Ziel.

Im übrigen war die Frage von Christian_P, ob du das unbedingt mit der Grenzwertdefinition machen mußt oder ob du nicht die Grenzwertsätze verwenden darfst. Das ist durchaus ein Unterschied.

26.01.2012, 11:23

Matzemathiker

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RE: Grenzwert einer Folge
Wo liegt denn der Unteraschied zwischen dem Grenzwertsatz und der grenzwertdefinition ?

zu der aufgabe:

ich habe was anderes raus, ich habe jetzt auch ganz anders angefangen.

Also:

$\begin{eqnarray*} \left(3-\frac{1}{n}\right)^2<\epsilon \end{eqnarray*}$ nun hier die wurzel ziehen

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \left(3-\frac{1}{n}\right)<\sqrt{\epsilon} \end{eqnarray*}$ dann - 3 rüber

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow -\frac{1}{n}<\sqrt{\epsilon} - 3 \end{eqnarray*}$ das ganze mal - 1

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{1}{n}<3- \sqrt{\epsilon} \end{eqnarray*}$ mal n und geteilt durch 3 - epsilon

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{1}{3- \sqrt{\epsilon}} <n \end{eqnarray*}$

vielleicht sei hier noch gesagt, dass
$\begin{eqnarray*} \epsilon \neq 9 \end{eqnarray*}$

26.01.2012, 11:31

klarsoweit

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RE: Grenzwert einer Folge

Zitat:

Original von Matzemathiker
ich habe was anderes raus, ich habe jetzt auch ganz anders angefangen.

Also:

$\begin{eqnarray*} \left(3-\frac{1}{n}\right)^2<\epsilon \end{eqnarray*}$ nun hier die wurzel ziehen

Da ist der Ansatz schon falsch. Es muß - wie du auch anfangs gepostet hast - $\begin{eqnarray*} |\left(3-\frac{1}{n}\right)^2 - 9| < \epsilon \end{eqnarray*}$ werden.

Zitat:

Original von Matzemathiker
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow -\frac{1}{n}<\sqrt{\epsilon} - 3 \end{eqnarray*}$ das ganze mal - 1

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{1}{n}<3- \sqrt{\epsilon} \end{eqnarray*}$ mal n und geteilt durch 3 - epsilon

Außerdem hast du hier nicht beachtet, daß bei Multiplikation mit negativen Zahlen das Ungleichheitszeichen umzudrehen ist.

Zitat:

Original von Matzemathiker
Wo liegt denn der Unteraschied zwischen dem Grenzwertsatz und der grenzwertdefinition ?

Das eine ist eine Definition, das andere sind Sätze (Folgerungen), die sich aus der Definition ergeben.
Einer der Grenzwertsätze besagt z.B., daß $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n \cdot \lim_{n \to \infty} b_n \end{eqnarray*}$ ist, sofern die Grenzwerte der Folgen a_n und b_n existieren.

26.01.2012, 12:18

Matzemathiker

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RE: Grenzwert einer Folge
ich werde echt irre wegen dieser aufgabe. ich versuche es nur noch einmal, wenn das auch falsch ist, dann lasse ich das und widme mich anderen aufgaben.

danke für eure geduld Gott

und für die erklärung

$\begin{eqnarray*} | (3-\frac{1}{n} ) - 9 | < \epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (3-\frac{1}{n})^{2}+ 9 < \epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (3-\frac{1}{n})^{2} + 9 < \epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (3-\frac{1}{n} ) + 3 < \sqrt{\epsilon} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow -\frac{1}{n} < \sqrt{\epsilon} - 6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{1}{n} > 6 - \sqrt{\epsilon} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{1}{6 - \sqrt{\epsilon}} > n \end{eqnarray*}$

26.01.2012, 13:11

klarsoweit

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RE: Grenzwert einer Folge

Zitat:

Original von Matzemathiker
$\begin{eqnarray*} | (3-\frac{1}{n} ) - 9 | < \epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (3-\frac{1}{n})^{2}+ 9 < \epsilon \end{eqnarray*}$

Abgesehen davon, daß es $\begin{eqnarray*} | (3-\frac{1}{n} )^2 - 9 | < \epsilon \end{eqnarray*}$ heißen muß, ist diese Umformung schon falsch. Da der Term zwischen den Betragsstrichen negativ ist, mußt du beim Weglassen der Betragsstriche den Term mit -1 multiplizieren. Richtig ist also:

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow -(3-\frac{1}{n})^{2}+ 9 < \epsilon \end{eqnarray*}$

Womit wir schon beim nächsten Problem sind: du verwendest bei deinen Umformungen die "==>"-Richtung. Der Witz ist aber, daß du die Rückwärts-Richtung brauchst. Denn wenn, du ein n_0 gefunden hast, mußt du aus n > n_0 folgern, daß $\begin{eqnarray*} |a_n - g| < \epsilon \end{eqnarray*}$ ist.

Ich gebe zu, daß bei diesem Thema schon viele gescheitert sind, obwohl es im Grunde von der Logik her gar nicht so schwer ist.

26.01.2012, 13:25

Matzemathiker

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RE: Grenzwert einer Folge
oh gott , dass ist so schlimm ich bin so frustriert

ich amch das jetzt nochmal bis ich es richtig habe. ich kann das so nicht stehen lassen

26.01.2012, 14:39

Christian_P

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Hi, ich hoffe, ich habe dich nicht zu sehr verwirrt. Zur Entwirrung habe ich diese Zeichnung gemacht. Vielleicht ist es so ein bisschen anschaulicher.

[attach]22850[/attach]

Grüße Wink

26.01.2012, 23:35

Matzemathiker

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nein hast du nicht, nur habe ich mir schon vorher die schwieriegkeit gemacht und es mit der definition versucht.

man kann den grenzwert ja auch mit einen der grenzwertsätze bestimmen. in diesem ist es sogar so einfach, dass ich

$\begin{eqnarray*} \left(3-\frac{1}{n}\right)^2 = \left(3-\frac{1}{n}\right) \cdot \left(3-\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$

nun kann man erkennen, da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert, konvergiert der Term $\begin{eqnarray*} 3- \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ gegen 3

ausfürhrlich und hoffe formal richtig bedeutet das:

$\begin{eqnarray*} lim_{n\rightarrow \infty } \left(3-\frac{1}{n}\right) \cdot lim_{n\rightarrow \infty } \left(3-\frac{1}{n}\right) = 3 \cdot 3 = 9 \end{eqnarray*}$

das war's nocht mehr nicht weniger

27.01.2012, 08:22

Christian_P

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Ja, so ähnlich würde ich's auch machen.

Ich würde schreiben

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\left(3-\frac{1}{n}\right)^2=\lim_{n \to \infty}\left(9-\frac{6}{n}+\frac{1}{n^2}\right)=\lim_{n \to \infty}9-\lim_{n \to \infty}\frac{6}{n}+\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}=9-0+0=9\quad\quad\Rightarrow\quad \lim_{n \to \infty}\left(3-\frac{1}{n}\right)^2=9 \end{eqnarray*}$

Man muss es vielleicht nicht so ausführlich schreiben, aber ich find's schön Augenzwinkern

Gruß

27.01.2012, 11:51

Matzemathiker

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oh ja stimmt, so würde es auch gehen. ist dann halt geschmackssache ... danke Freude

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