Ermitteln einer Funktionsgleichung

25.01.2012, 21:01

Lyvisa

Ermitteln einer Funktionsgleichung

Meine Frage:
Ich habe folgende Angaben um eine Funktionsgleichung zu ermitteln:
- die Funktion ist 4. Grades
- sie hat eine Extremstelle bei x = -2
- sie hat ein Minimum im Punkt P (1;1)
- an der Stelle x = 0 befindet sich eine Tangente mit der Gleichung y = -4x + 5

Ich habe schon so viel hin und her gerechnet, aber ich komme einfach auf kein Ergebnis unglücklich

Besonders die Sache mit der Tangentengleichung bereitet mir Kopfzerbrechen...

Meine Ideen:
Zunächst einmal die Ausgangsfunktion:
$\begin{eqnarray*} f(x) = ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e \end{eqnarray*}$
Ihre erste Ableitung:
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 4ax^{3} + 3bx^{2} + 2cx + d \end{eqnarray*}$
Ihre zweite Ableitung:
$\begin{eqnarray*} f''(x) = 12ax^{2} + 6bx + 2c \end{eqnarray*}$

Weiterhin weiß ich
- den x-Wert einer Extremstelle setzt man in die erste Ableitung ein und setzt sie gleich 0, also:
$\begin{eqnarray*} f'(-2) = 0 = 4a \cdot (-2)^3 + 3b \cdot (-2)^2 + 2c \cdot (-2) + d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(-2) = 0 = -32a + 12b - 4c + d \end{eqnarray*}$

- demzufolge setzt man auch den x-Wert des Minimums in die erste Ableitung und setzt sie gleich 0, also:
$\begin{eqnarray*} f'(1) = 0 = 4a \cdot 1^3 + 3b \cdot 1^2 + 2c \cdot 1 + d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(1) = 0 = 4a + 3b + 2c + d \end{eqnarray*}$

- man kann auch den x-Wert in die Ausgangsfunktion setzen, sodass sich der y-Wert ergibt, also:
$\begin{eqnarray*} f(1) = 1 = a \cdot 1^{4} + b \cdot 1^{3} + c \cdot 1^{2} + d \cdot 1 + e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(1) = 1 = a + b + c + d + e \end{eqnarray*}$

So weit müssten die Gleichungen doch stimmen, oder? Jetzt wird es für mich knifflig mit der Tangentengleichung...
Ich weiß wie man eine Wendetangengleichung aufstellt, und habe es dann auf diese Aufgabe übertragen
Zunächst benötigt man den Anstieg, der sich aus der ersten Ableitung von dem x-Wert des Wendepunktes ergibt

Ich bin also davon ausgegangen, dass x=0 der x-Wert eines Wendepunktes ist:
$\begin{eqnarray*} f'(0) = 4a \cdot (0)^3 + 3b \cdot (0)^2 + 2c \cdot (0) + d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -> m = d \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich mit der Formel für die Tangentengleichung weiter gerechnet:
$\begin{eqnarray*} m = \frac{y - y_{w1} }{x + x_{w1} } \end{eqnarray*}$

Ich benötige nun noch den y-Wert des Wendepunktes, also berechne ich ihn mit der zweiten Ableitung:
$\begin{eqnarray*} f''(0) = 12a \cdot 0^2 + 6b \cdot 0 + 2c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(0) = 2c \end{eqnarray*}$

Nun kann ich in die Formel für die Tangentengleichung einsetzen:
$\begin{eqnarray*} d = \frac{y - 2c }{x + 0 } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{y - 2c}{x} = d /\cdot x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y - 2c = dx / + 2c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = dx + 2c \end{eqnarray*}$

Da die vorgegebene Tangentengleich y = -4x + 5 lautet, leite ich ab dass d = -4 und c = 2,5 ( weil $\begin{eqnarray*} 2 \cdot 2,5 = 5 \end{eqnarray*}$ )
Ist dieser Ansatz nun richtig oder nicht?!

Ich habe auch noch eine zweite Idee, und zwar wenn ich die Stelle x=0 in die Ausgangsgleichung einsetze und mit der Tangentengleichung gleich setze, also:
$\begin{eqnarray*} f(x) = -4x + 5 = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(0) = -4 \cdot 0 + 5 = a \cdot 0^4 + b \cdot 0^3 + c \cdot 0^2 + d \cdot 0 + e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(0) = 0 + 5 = 0a + 0b + 0c + 0d + e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(0) = 5 = e \end{eqnarray*}$

...Welcher Ansatz ist denn nun richtig, falls es überhaupt einer ist? unglücklich

25.01.2012, 21:27

sulo

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RE: Ermitteln einer Funktionsgleichung...

Zitat:

Original von Lyvisa
- an der Stelle x = 0 befindet sich eine Tangente mit der Gleichung y = -4x + 5

Besonders die Sache mit der Tangentengleichung bereitet mir Kopfzerbrechen...

Mir auch: Ist es eine einfache Tangente oder eine Wendetangente? verwirrt

25.01.2012, 21:29

Christian_P

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Ich habe folgende Informationen gefunden:

$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}\begin{align*} f(x)&=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \\ f(1)&=1 \\ f'(-2)&=0 \\ f'(1)&=0 \\ f'(0)&=-4 \end{align*}\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

Die letzte Info ist aus der Tangente an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ mit dem Anstieg $\begin{eqnarray*} -4 \end{eqnarray*}$
Das müssten dann 4 Gleichungen sein, wobei bei einer Gleichung eine unbekannte (d) dann nicht mehr unbekannt ist smile

Die meisten Gleichungen hast du ja schon.

Grüße

25.01.2012, 21:34

mYthos

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Es fehlt die 5. Gleichung.
Diese liefert jedoch die vollständige Auswertung der Tangentengleichung:

y = -4x + 5 geht durch den Punkt mit der Stelle x = 0.
Daher ist (0; 5) ein Kurvenpunkt! --> e

mY+

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