Nullfolgen

25.01.2012, 22:55

kathi110

Nullfolgen

Meine Frage:
Bin hier gerade am verzweifeln und benötige dringend eure Hilfe...
Ich soll eine Zahlenfolge sn mit sn= xn/yn bilden, wobei xn= 2/n^2 und yn= (1/2)^n gegeben sind und anschließend untersuchen, ob sn eine Nullfolge ist..

Meine Ideen:
habe nun sn gebildet: sn= 2/n^2 / (0,5)^n aber ich bekomme es irgendwie überhaupt nicht hin, diese folge nun zu vereinfachen..denn ich dachte, man müsste eventuell die regel von l'hospital anwenden.

dann komme ich nach ableiten auf -4n^-3 / (0,5)^n ist der ansatz so richtig? vielen dank für eure hilfe!

25.01.2012, 23:15

HueHang

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Du musst überprüfen, ob der Grenzwert deiner Folge $\begin{eqnarray*} s_{n} = x_{n} / y_{n} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist. Dazu musst du die Grenzwerte von $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_{n} \end{eqnarray*}$ herausfinden und der daraus resultierende Quotienten muss gegen 0 laufen, damit $\begin{eqnarray*} s_{n} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist.

Also:
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{y_n} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{(\frac{1}{2})^n} \end{eqnarray*}$

Das machst du dann für die andere Teilfolge und überprüfst, wohin die beiden Folgen laufen.

26.01.2012, 12:52

kathi110

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danke für deine schnelle antwort! also war mein ansatz mit l'hospital falsch..mhh

für xn ist doch der grenzwert null und yn konverigert auch gegen null im unendlichen

also ist der grenzwert von sn= 0/0 =0? oder wie schreib ich das am besten auf? durch null darf man doch eigentlich nicht teilen oder?

26.01.2012, 12:59

klarsoweit

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Zitat:

Original von kathi110
also ist der grenzwert von sn= 0/0 =0?

Nein. Erstens ist 0/0 nicht definiert und zweitens gelten die Grenzwertsätze nicht, wenn die Nennerfolge eine Nullfolge ist.

Du mußt eben $\begin{eqnarray*} \frac{x_n}{y_n} = \frac{2 \cdot 2^n}{n^2} \end{eqnarray*}$ als ganzes betrachten.
Nutze dazu die Ungleichung $\begin{eqnarray*} 2^n \geq n^2 \end{eqnarray*}$ für n >= 4. smile

26.01.2012, 14:27

kathi110

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danke auch für deine antwort!
könntest du mir bitte einen tipp geben, wie du auf die umstellung gekommen bist?

und irgendwie versteh ich das mit deiner angegebenen ungleichung nicht..wie müsste ich denn dann weiter verfahren? reicht es für n die werte 4,5,6... einzusetzen und zu schauen, wie sich dies auf die ungleichung auswirkt?

26.01.2012, 14:49

klarsoweit

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Zitat:

Original von kathi110
könntest du mir bitte einen tipp geben, wie du auf die umstellung gekommen bist?

Ich habe einfach in $\begin{eqnarray*} \frac{x_n}{y_n} \end{eqnarray*}$ die Definition der Folgen eingesetzt.

Zitat:

Original von kathi110
und irgendwie versteh ich das mit deiner angegebenen ungleichung nicht..wie müsste ich denn dann weiter verfahren? reicht es für n die werte 4,5,6... einzusetzen und zu schauen, wie sich dies auf die ungleichung auswirkt?

Was ist denn daran nicht zu verstehen? Deine Frage läßt mich erschaudern. Anscheinend hast du noch nie was von mathematischen Beweisverfahren gehört, insbesondere von der vollständigen Induktion.

26.01.2012, 17:30

kathi110

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doch doch, eine vollständige induktion ist mir bekannt, jedoch folgt doch aus deiner ungleichung, dass es sich bei der folge sn nicht um eine nullfolge handelt, da n ja mindestens vier betragen muss, denn bei n kleiner 4 würde der nenner null ergeben und null ist nicht definiert..habe ich das so richtig verstanden?

27.01.2012, 10:35

klarsoweit

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Ich wüßte jetzt nicht, wieso der Nenner bei n kleiner 4 Null ergeben sollte. verwirrt

Wie dem auch sei. Bei einer Grenzwertbetrachtung kann man endlich viele Folgenglieder weglassen. Das ändert am Konvergenzverhalten gar nichts. Von daher kann man problemlos n >= 4 betrachten.

27.01.2012, 12:22

kathi110

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Zitat:

Original von klarsoweit
Ich wüßte jetzt nicht, wieso der Nenner bei n kleiner 4 Null ergeben sollte. verwirrt

ooh das ergibt wirklich keinen sinn! ich meinte dass wenn man werte kleiner 4 für n einsetzt der gesamte bruch null wird.. mit deiner aufgestellten ungleichung ist doch dann aber eigentlich bewiesen, dass es sich bei der folge sn nicht um eine nullfolge handelt oder? mit steigendem n wird die folge immer größer.geht also für große werte gegen unendlich?! du merkst schon, ich habs nicht so mit mathe Augenzwinkern

danke für deine hilfe!

27.01.2012, 12:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von kathi110
mit deiner aufgestellten ungleichung ist doch dann aber eigentlich bewiesen, dass es sich bei der folge sn nicht um eine nullfolge handelt oder?

Richtig.

Zitat:

Original von kathi110
mit steigendem n wird die folge immer größer.geht also für große werte gegen unendlich?!

Ja, dazu braucht man aber die Ungleichung $\begin{eqnarray*} 2^n \geq n^3 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von kathi110
du merkst schon, ich habs nicht so mit mathe

Und warum quälst du dich damit?

27.01.2012, 14:12

kathi110

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Zitat:

Original von klarsoweit

Und warum quälst du dich damit?