Funktionsfindung und Doppelintegral

26.01.2012, 09:05

Shizorano

Funktionsfindung und Doppelintegral

Meine Frage:
Hallo zusammen,
habe hier zwei Aufgaben, wo ich ein wenig unsicher bin:

1. a) Gegegben ist eine Funktion $\begin{eqnarray*} \Phi : \mathbb R ² \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \nabla \Phi (x,y) = (2xe^y + 2ye^x , x^2e^y + 2e^x + y) \end{eqnarray*}$

b) Für die Funktion $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ in a) berechne

$\begin{eqnarray*} \Delta \Phi := \Phi _{xx} + \Phi _{yy} \end{eqnarray*}$

2. Sei B der Einheitskreis um den Nullpunkt in $\begin{eqnarray*} \mathbb R ² \end{eqnarray*}$ .

Berechne $\begin{eqnarray*} \int_B \! cos[\frac \pi 2 (x² + y²)] dx dy \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also bei der 1.a) muss ich ja 'einfach' aufleiten, so dass
$\begin{eqnarray*} \Phi (x,y) = x²e^y + 2ye^x + \frac 12 y² \end{eqnarray*}$ ...
Bei der b) muss ich doch
$\begin{eqnarray*} 2xe^y + 2ye^x \end{eqnarray*}$ nach x ableiten, was dann
$\begin{eqnarray*} 2e^y + 2ye^x \end{eqnarray*}$ ergibt und mit der y-Ableitung von $\begin{eqnarray*} (x^2e^y + 2e^x + y)' = x^2e^y +1 \end{eqnarray*}$ addieren.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \Delta \Phi = 2e^y + 2ye^x + x^2e^y +1 = e^y(x²+2)+2ye^x +1 \end{eqnarray*}$
Stimmts???

Für die 2. gilt doch:
$\begin{eqnarray*} \int_B \! cos[\frac{\pi}{2} (x² + y²)] \, dx dy \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int_{0}^{2\pi} \int_0^1 cos[\frac{\pi r²}{2}]r dr d \varphi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int_{0}^{2\pi} \left[\frac{4}{\pi} sin(\frac{\pi r²}{2}) \right]_{0}^{1} d \varphi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int_{0}^{2\pi} \frac{4}{\pi} d \varphi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \left[ \frac{4}{\pi} \varphi \right]_0^{2\pi} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 8 \end{eqnarray*}$

Stimmts?

26.01.2012, 15:56

Mulder

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RE: Funktionsfindung und Doppelintegral
Bei der 1) habe ich keine Einwände. Höchstens könnte man noch die Integrationskonstante hinzufügen, um alle Lösungen abzudecken.

Zitat:

Original von Shizorano
Für die 2. gilt doch:
$\begin{eqnarray*} \int_B \! cos[\frac{\pi}{2} (x² + y²)] \, dx dy \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int_{0}^{2\pi} \int_0^1 cos[\frac{\pi r²}{2}]r dr d \varphi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int_{0}^{2\pi} \left[\frac{4}{\pi} sin(\frac{\pi r²}{2}) \right]_{0}^{1} d \varphi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int_{0}^{2\pi} \frac{4}{\pi} d \varphi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \left[ \frac{4}{\pi} \varphi \right]_0^{2\pi} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 8 \end{eqnarray*}$

Ich sehe grad nicht, wo du da den Faktor 4 hernimmst. Hast du dich damit irgendwo vertan? Wenn du die 4 rausnimmst, sollte der Rest aber stimmen (insgesamt komme ich auf 2 als Ergebnis).

26.01.2012, 18:15

Shizorano

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RE: Funktionsfindung und Doppelintegral
Okay ich habs grad nochmal durchgeschaut!
Ich hab mich bei der Ableitung für $\begin{eqnarray*} \frac{\pi r²}{2} \end{eqnarray*}$ vertan!

Dann komme ich auch auf 2 raus....
Besten Dank!

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