Basis von Polynomen

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26.01.2012, 12:13	Commander91	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis von Polynomen Hi! Folgende Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} R_{\leq 2} [X] \end{eqnarray}$ der $\begin{eqnarray} \mathbb R - Vektorraum \end{eqnarray}$ der Polynome mit dem Grad $\begin{eqnarray} \leq 2 \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} P_{1} (X) = 1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} P_{2} (X) = X - 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P_{3} (X) = X^{2} - X \end{eqnarray}$ . a) Zeigen Sie, dass { $\begin{eqnarray} P_{1} (X), P_{2} (X), P_{3} (X) \end{eqnarray}$ } eine Basis von $\begin{eqnarray} R_{\leq 2} [X] \end{eqnarray}$ ist. b) ... Allgemein gesagt habe ich wirklich 0 Ahnung, was ich machen soll bzw. warum ich was mache. Ich habe dann eine Gleichung aufgestellt, die so aussieht: $\begin{eqnarray} 1 + x - 1 + x^{2} - x = 0 \end{eqnarray}$ , wo dann $\begin{eqnarray} x = 0 \end{eqnarray}$ rauskommt. Habe ich damit gezeigt, dass es sich um eine Basis handelt? Wenn ja, warum ? ^^. Wenn nicht, bitte gebt mir Tipps zu der Aufgabe, dieser Aufgabentyp wird sehr wichtig für die Klausur sein und leider beherrsche ich ihn noch überhaupt nicht.
26.01.2012, 12:18	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis von Polynomen Zunächst ist zu zeigen, dass die Polynome ein Erzeugendensystem bilden, sprich dass jedes Polynom vom Grad kleiner oder gleich 2 dargestellt werden kann als Linearkombination $\begin{eqnarray} ap_1+bp_2+cp_3 \end{eqnarray}$ mit den Skalaren a,b,c aus IR. Dann ist zu zeigen, dass die Polynome linear unabhängig sind, was durch einen Koeffizientenvergleich gemacht werden kann.
26.01.2012, 12:36	Commander91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis von Polynomen Danke, ich glaube das waren genau die richtigen Stichwörter. Meine Rechnung sieht jetzt so aus: $\begin{eqnarray} \Rightarrow a(P1) + b(P2) + c(P3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow a + bx - b + cx^{2} - cx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow cx^{2} + (b - c)x + a - b \end{eqnarray}$ Daraus ergibt sich das Gleichungssystem: $\begin{eqnarray} c = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b - c = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a - b = 0 \end{eqnarray}$ und weil $\begin{eqnarray} a = b = c = 0 \end{eqnarray}$ ist der Vektorraum linear Unabhängig und somit eine Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb R_{\leq 2} [X] \end{eqnarray}$ ?! Ist das richtig so?
26.01.2012, 13:07	Commander91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis von Polynomen ... ich schreib schonmal die b) rein: Berechnen Sie von allen drei Polynomen der kanonischen Basis { $\begin{eqnarray} 1,X,X^{2} \end{eqnarray}$ } die Koordinaten bezüglich der Basis { $\begin{eqnarray} P_{1} (X), P_{2} (X), P_{3} (X) \end{eqnarray}$ }. Ich weiß leider hier auch nicht so genau, was ich tun soll ... Ich hatte erst überlegt, es in der Form $\begin{eqnarray} 1(P_{1}) + X (P_{2}) + X^{2} (P_{3}) \end{eqnarray}$ zu berechnen, aber dann käme ja etwas mit $\begin{eqnarray} x^{3} \end{eqnarray}$ raus und das kann ja nicht richtig sein. Könnt ihr mir dazu auch noch einen Tipp geben?
26.01.2012, 13:23	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis von Polynomen Okay, das ist soweit richtig. Vielleicht noch einmal dazu schreiben, warum sich so jedes Polynom vom Grad kleiner gleich 2 erzeugen lässt. Lineare unabhängigkeit ist richtig. Nun zu der nächsten Aufgabe (ich bin gleich offline, gebe aber noch den ein oder anderen hinweis). Schreibe die Polynome der kanonischen Basis als Linearkombination der Polynome P_i
26.01.2012, 13:39	Commander91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis von Polynomen Sorry, ich weiß leider nicht wie du das meinst ... ich dachte, das hätte ich schon gemacht und es wäre falsch. Wenn ich es so machen würde wie oben, käme am ende dabei $\begin{eqnarray} x^{3} -x + 1 \end{eqnarray}$ raus,was irgendwie nicht richtig aussieht. Hast du vielleicht noch einen Tipp ?
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26.01.2012, 13:50	Commander91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis von Polynomen Mir ist noch eine Idee gekommen: Wenn ich es ähnlich mache wie oben bei der mit der Linearkombination, aber dann nach a,b,c ausklammere, dann bekomme ich folgendes: $\begin{eqnarray} 1 + b(x-1) + c(x^{2} -x) = 0 \end{eqnarray}$ Jetzt kann ich ja ablesen, welche Werte ich für x einsetzen muss, damit das Gleichungssystem 0 ergibt, nämlich {1,0,0}. Ist das so richtig? Leider besteht bei der Schreibweise kein Bezug zu { $\begin{eqnarray} 1,X,X^{2} \end{eqnarray}$ } , wenn das so richtig wäre, wie schreibe ich das dann richtig auf ?
26.01.2012, 14:03	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis von Polynomen Wir bennen mal die Polynome wie folgt: $\begin{eqnarray} p_1=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p_2=x-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p_3=x^2-x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g_1=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g_2=x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g_3=x^2 \end{eqnarray}$ Nun ist die Idee richtig, das so zu machen, wie in der letzten Aufgabe, nur soll diesmal nicht das Nullpolynom dargestellt werden sondern die Polynome $\begin{eqnarray} g_i \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} a \cdot p_1+b \cdot p_2+c \cdot p_3=g_i \end{eqnarray}$ Der Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}a\\b\\c \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist dann der Koordinatenvektor von $\begin{eqnarray} g_i \end{eqnarray}$ bezüglich der gegebenen Basis.
26.01.2012, 14:17	Commander91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis von Polynomen Okay danke, darauf wär ich von selber nicht gekommen. Wenn ich die Werte dann in die Formeln einsetze, habe ich: $\begin{eqnarray} a(1) + b(x-1) + c(x^{2} -x) = 1 \end{eqnarray}$ Hier wäre der Vektor zur Lösung des LGS (1,0,0) $\begin{eqnarray} a(1) + b(x-1) + c(x^{2} -x) = x \end{eqnarray}$ Hier: (1,1,0) $\begin{eqnarray} a(1) + b(x-1) + c(x^{2} -x) = x^{2} \end{eqnarray}$ und hier: (1,1,1) also lautet die kanonische Basis: {(1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)} !?
26.01.2012, 16:58	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis von Polynomen Nein, die kanonische Basis ist die Basis $\begin{eqnarray} \{1,x,x^2\} \end{eqnarray}$ . Das was du ausgerechnet hast sind die Koordinatenvektoren der Kanonischen Basis bezüglich der gegebenen Basis, aber das war in der Aufgabe auch verlangt.

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