Matrixgleichung in Gleichung für Eigenwerte umwandeln

26.01.2012, 12:28	Gast619	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrixgleichung in Gleichung für Eigenwerte umwandeln Hi, habe folgende Aufgabe bekommen: Sei A eine Matrix, sodass $\begin{eqnarray} A^2=A \end{eqnarray}$ gilt. Zeige, dass nur 0 und 1 als Eigenwerte der Matrix in Frage kommen. Dazu habe ich einmal angenommen, dass x ein Eigenvektor zum Eigenwert a ist. Wenn ich $\begin{eqnarray} A^2=A \end{eqnarray}$ mit dem Eigenvektor multipliziere, erhalte ich $\begin{eqnarray} A^2\cdot x=A \cdot x \iff \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A \cdot \left( A\cdot x\right)=A \cdot x =ax\iff \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A \cdot a x =ax\iff \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A \cdot x=x \vee a=0 \end{eqnarray}$ woraus folgt, dass a=0 oder a=1 gelten muss. Korrekt? Nun zu meiner Frage: Ich wurde darauf hingewiesen, dass eine Gleichung für eine Matrix in bestimmter Weise auch für ihre Eigenwerte gelten muss. In diesem Fall würde aus $\begin{eqnarray} a^2=a \end{eqnarray}$ sofort das gewünschte folgen. Mein bester Versuch bei der Herleitung der Gleichung für die Eigenwerte ist: $\begin{eqnarray} A=P\cdot D\cdot P^{-1} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^2=P\cdot D^2\cdot P^{-1}=P\cdot D\cdot P^{-1} \iff \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} D^2=D \end{eqnarray}$ und da die Einträge dieser Diagonalmatrix die Eigenwerte sind, muss nun $\begin{eqnarray} a^2=a \end{eqnarray}$ gelten. Das einzige Problem bei dieser Herleitung ist, dass ich die Diagonalisierbarkeit der Matrix vorausgesetzt habe (die nicht gegeben ist? ). Inwieweit ist es wahr, dass man eine Matrixgleichung in eine Eigenwertgleichung umformen kann und wie macht man das? LG
26.01.2012, 15:58	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu deinem ersten Ansatz. Das sieht etwas diffus aus. Aber letztendlich klappt das: Man kann folgern, dass es ein $\begin{eqnarray} x \neq 0 \end{eqnarray}$ gibt, mit $\begin{eqnarray} a^2x=ax \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} a^2=a \end{eqnarray}$ . Zum zweiten Ansatz: In der Tat brauch man hier die Diagonalisierbarkeit. Aber die ist gegeben, denn das Minimalpolynom ist ein Teiler von $\begin{eqnarray} x(x-1) \end{eqnarray}$ , weil ja $\begin{eqnarray} A(A-E) = 0 \end{eqnarray}$ gilt. Damit wären wir auch direkt beim dritten und kürzesten Weg: Das Minimalpolynom teilt $\begin{eqnarray} x(x-1) \end{eqnarray}$ , also sind 0 und 1 die einzig möglichen Nullstellen.

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