Komposition von Vektorfeldern (Lie-Klammer)

26.01.2012, 14:21

Merlinius

Komposition von Vektorfeldern (Lie-Klammer)

Hi!

Ich bin schon seit Tagen damit beschäftigt, die Komposition von Vektorfeldern zu verstehen, aber es will mir einfach nicht gelingen. Ich habe schon mehrere Kommilitonen gefragt, aber wir konnten die kritische Stelle auch nicht nachvollziehen. Es wäre wirklich super, wenn sich jemand kurz ein paar Minuten Zeit nehmen könnte.

Es geht um die Lie-Klammer $\begin{eqnarray*} [X, Y]f = XYf-YXf \end{eqnarray*}$ und speziell die Komposition $\begin{eqnarray*} XYf \end{eqnarray*}$ , die darin auftaucht.

Erstmal allgemein in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und Tangentialvektoren seien als Derivationen betrachtet. Betrachten wir das einfache Beispiel $\begin{eqnarray*} X = Y = \frac{\partial}{\partial x_1} \end{eqnarray*}$ (auf U), wobei $\begin{eqnarray*} x: U \longrightarrow V \subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ eine Karte sei und $\begin{eqnarray*} f \in C^\infty(M, \mathbb R) \end{eqnarray*}$

Dementsprechend wäre $\begin{eqnarray*} XYf = X(Yf) = \frac{\partial}{\partial x_1}(\frac{\partial}{\partial x_1}f) = \frac{\partial^2}{\partial x_1^2} f \end{eqnarray*}$

Diese Berechnung stimmt damit überein, wie es im Buch Riemannian Geometry von doCarmo auf S. 26 dargestellt wird (
Link zum Buch auf Google Books)

Nun hatten wir eine Aufgabe im Fall $\begin{eqnarray*} M = \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X: \mathbb R^2 \longrightarrow \mathbb R^2, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Y = e_1: \mathbb R^2 \longrightarrow \mathbb R^2, x \mapsto (1, 0) \end{eqnarray*}$

Hier sind die Vektorfelder also nicht mehr über Derivationen dargestellt, sondern über Vektoren. Und nun wird behauptet $\begin{eqnarray*} X e_1 = 0 \end{eqnarray*}$ für alle Vektorfelder $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ . Und dem Ganzen scheint folgende Rechnung zugrunde zu liegen:

Wenn ich mal $\begin{eqnarray*} Y = (1, 0) =: (\phi_1, \phi_2) \end{eqnarray*}$ schreibe, wird gerechnet:

$\begin{eqnarray*} X \circ Y = (X \phi_1, X \phi_2) = (<X, \text{grad }\phi_1>, <X, \text{grad }\phi_2>) = (<X, 0>, <X, 0>) = 0 \end{eqnarray*}$

Nun kann man ja $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ mit der Derivation $\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x_1} \end{eqnarray*}$ identifizieren und dann würde hier ja behauptet $\begin{eqnarray*} X \frac{\partial}{\partial x_1} = 0 \end{eqnarray*}$ , speziell mit $\begin{eqnarray*} X = \frac{\partial}{\partial x_1} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} XYf = \frac{\partial^2}{\partial x_1^2} f \end{eqnarray*}$ für alle Funktionen $\begin{eqnarray*} f \in C^\infty(\mathbb R^2, \mathbb R) \end{eqnarray*}$ , was offenbar nicht stimmt.

Die Sache ist denke ich, dass Vektorfelder im Allgemeinen die Form $\begin{eqnarray*} X, Y: M \longrightarrow TM \end{eqnarray*}$ haben und man daher nicht einfach $\begin{eqnarray*} X \circ Y \end{eqnarray*}$ erstmal für sich einfach zusammenrechnen kann und direkte eine neue Abbildung $\begin{eqnarray*} X \circ Y: M \longrightarrow TM \end{eqnarray*}$ hat. In obigem Beispielfall haben aber beide Vektorfelder die Form $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \longrightarrow \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , so dass man sie einfach "naiv" miteinander zusammenrechnen kann, was hier auch gemacht wurde, was aber meiner Meinung nach im Allgemeinen nicht zum selben Ergebnis führen sollte.

Also woran liegt's? Ist die zweite Vorgehensweise falsch? Kann man Vektorfelder im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ nicht einfach so verrechnen? Oder ist mein Verständnis von der Komposition von Vektorfeldern in der ersten Rechnung falsch (die halt mit der Rechnung im Buch übereinstimmt)?

26.01.2012, 18:07

gonnabphd

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Zitat:

Wenn ich mal $\begin{eqnarray*} Y = (1, 0) =: (\phi_1, \phi_2) \end{eqnarray*}$ schreibe, wird gerechnet:
$\begin{eqnarray*} X \circ Y = (X \phi_1, X \phi_2) = (<X, \text{grad }\phi_1>, <X, \text{grad }\phi_2>) = (<X, 0>, <X, 0>) = 0 \end{eqnarray*}$

Ich sehe nicht, woher das erste Gleichheitszeichen kommen sollte? Wie du selbst schon begründet hast, ist diese Rechnung falsch. Was hier gemacht wurde, ist im Prinzip die Hälfe der Rechnung wurde weggelassen:

$\begin{eqnarray*} X\circ \left(g_i \frac{\partial }{\partial x_i}\right) = (Xg_i)\, \frac{\partial }{\partial x_i} + g_i\, \left(X \circ \frac{\partial }{\partial x_i}\right) \ne (Xg_i) \, \frac{\partial }{\partial x_i} \end{eqnarray*}$

(nur letzteres wurde berechnet)

26.01.2012, 19:01

Merlinius

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Okay, also sind wir uns einig, dass $\begin{eqnarray*} X e_1 \end{eqnarray*}$ nicht generell 0 ist für alle Vektorfelder X? Damit wäre diese Aussage, die dort ganz explizit getroffen wird, ja schonmal falsch.

Die Sache ist, dass diese (falsche) Rechnung, wie ich sie oben aufgeführt habe, nicht explizit dort steht. Allerdings wird mehr oder weniger explizit in der zweiten Teilaufgabe so gerechnet und daher kann ich nur mutmaßen, dass sie auf selbem Rechenweg in der ersten Teilaufgabe zu $\begin{eqnarray*} X e_1 = 0 \end{eqnarray*}$ geschlossen haben. Am besten zeige ich noch einmal die zweite Teilaufgabe mit Lösung, weil sie da - so scheint es mir - auch diese fragliche Verknüpfung von X und Y durchführen (Siehe Bild)

Erstaunlicherweise kommen sie letztlich bei der Berechnung der Lieklammer in beiden Fällen zum richtigen Ergebnis, weil sich in der ersten Teilaufgabe (siehe oben) der Term weghebt, den sie als 0 bezeichnen. Und in der zweiten Teilaufgabe ist das Ergebnis auch korrekt.

26.01.2012, 19:07

Merlinius

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Der Vollständigkeit halber, um sicherzugehen, dass ich nicht völlig falsch gelesen und interpretiert habe, füge ich hier noch einmal die ursprüngliche Aufgabe und die Lösung an.

27.01.2012, 15:16

gonnabphd

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Das mit dem Pfeil markierte scheint mir falsch zu sein.

Alerdings gibt es einen guten Grund, weshalb sie auf diese Art und Weise trotzdem zum richtigen Resultat für den Kommutator kommen:

Sie Berechnen im Prinzip (so macht es auf mich zumindest den Eindruck) für

$\begin{eqnarray*} X = \sum_i \zeta_i \partial_i, \; Y = \sum_i \eta_i \partial_i \end{eqnarray*}$

inkorrekterweise

$\begin{eqnarray*} XY = \sum_i \sum_j \zeta_i\frac{\partial \eta_j}{\partial x_i}\, \partial_j \end{eqnarray*}$

anstatt

$\begin{eqnarray*} XY = \sum_i \sum_j \left( \zeta_i \frac{\partial \eta_j}{\partial x_i}\, \partial_j + \zeta_i \eta_j\, \partial_{i}\partial_j\right) \end{eqnarray*}$

Nun macht das aber für die Lie-Klammer nichts aus, denn die zweiten, gemischten Terme heben sich auf alle Fälle immer weg:

$\begin{eqnarray*} [X,Y] &=& \left[ \sum_i \sum_j \left( \zeta_i \frac{\partial \eta_j}{\partial x_i}\, \partial_j + \zeta_i \eta_j\, \partial_{i}\partial_j\right) \right] - \left[ \sum_i \sum_j \left( \eta_j \frac{\partial \zeta_i}{\partial x_i}\, \partial_i + \zeta_i \eta_j\, \partial_{i}\partial_j\right) \right] \\<br /> &=& \sum_i \sum_j \zeta_i \frac{\partial \eta_j}{\partial x_i}\, \partial_j - \sum_i \sum_j \eta_j \frac{\partial \zeta_i}{\partial x_i}\, \partial_i \end{eqnarray*}$

Also kann man das schon so machen zur Berechnung der Lie-Klammer, um sich Arbeit zu sparen und die Lie-Klammer direkt aus den beiden Vektorfeldern ausrechnen zu können.
Aber man bekommt trotzdem für $\begin{eqnarray*} XY \end{eqnarray*}$ auf diese Art und Weise nicht die (normale) Verknüpfung von Vektorfeldern (im Sinne der Verknüpfung von Derivationen), sondern etwas anderes.

smile

27.01.2012, 15:23

Merlinius

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Super, vielen Dank! Mit diesem Ergebnis kann ich nun wohl endlich mit dieser Rechnung abschließen.

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