Quadratische Ergänzung , wie geht man da vor?

26.01.2012, 17:12

ermeglio

Quadratische Ergänzung , wie geht man da vor?

Meine Frage:
Hallo ihr lieben,

habe folgende Aufgabe:

Lösen Sie die Gleichung durch quadratische Ergänzung (nicht mit der Formel quadratische Gleichungen)!

$\begin{eqnarray*} 17x^{2} -4x -\frac{32}{17} =0 \end{eqnarray*}$

danke für jede Hilfe!
gruss
ermeglio

Meine Ideen:

$\begin{eqnarray*} 17x^{2} -4x -\frac{32}{17} =0 |+\frac{32}{17} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 17x^{2} -4x = \frac{32}{17} \end{eqnarray*}$

und da ist schon ende, ich frage mich was der nächste Schritt sein sollte... irgendetwas mit Wurzel von 17, aber wie weiter genau?

26.01.2012, 17:20

Steffen Bühler

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RE: Quadratische Ergänzung , wie geht man da vor?

Zitat:

Original von ermeglio
$\begin{eqnarray*} 17x^{2} -4x = \frac{32}{17} \end{eqnarray*}$

und da ist schon ende, ich frage mich was der nächste Schritt sein sollte...

Teile beide Seiten durch 17 und suche die quadratische Ergänzung.

Viele Grüße
Steffen

26.01.2012, 17:31

ermeglio

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RE: Quadratische Ergänzung , wie geht man da vor?
aber wie teile ich 17x2 - 4x durch 17?

26.01.2012, 17:35

Steffen Bühler

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RE: Quadratische Ergänzung , wie geht man da vor?

Zitat:

Original von ermeglio
aber wie teile ich 17x2 - 4x durch 17?

So:

$\begin{eqnarray*} \frac {17x^2 - 4x}{17} = \frac {17x^2}{17} - \frac {4x}{17} = x^2 - \frac {4}{17}x \end{eqnarray*}$

Das hättest Du wirklich nicht gekonnt?

Viele Grüße
Steffen

26.01.2012, 17:44

ermeglio

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RE: Quadratische Ergänzung , wie geht man da vor?
doch eigentlich schon, aber hatte irgendwie ne bloccade ...

jetzt aber

$\begin{eqnarray*} x^2 - \frac {4}{17}x = \frac {32}{289} \end{eqnarray*}$

Tips?

26.01.2012, 17:47

Steffen Bühler

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RE: Quadratische Ergänzung , wie geht man da vor?

Zitat:

Original von ermeglio
$\begin{eqnarray*} x^2 - \frac {4}{17}x = \frac {32}{289} \end{eqnarray*}$

Tips?

Zur Erinnerung: die quadratische Ergänzung ist das Quadrat der Hälfte des Faktors vor dem x. Die schreibst Du jetzt einmal mit Plus und danach wieder mit Minus vor das Gleichheitsszeichen. Dann siehst Du schon die binomische Formel.

Viele Grüße
Steffen

26.01.2012, 17:58

ermeglio

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RE: Quadratische Ergänzung , wie geht man da vor?
das Quadrat der Hälfte des Faktors vor dem x? meinst Du etwa so ?

$\begin{eqnarray*} x^2-( \frac{2}{17})^{2} \end{eqnarray*}$

26.01.2012, 18:05

Steffen Bühler

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RE: Quadratische Ergänzung , wie geht man da vor?

Zitat:

Original von ermeglio
meinst Du etwa so ?

$\begin{eqnarray*} x^2-( \frac{2}{17})^{2} \end{eqnarray*}$

Nicht ganz. Ich schrieb:

Zitat:

Die schreibst Du jetzt einmal mit Plus und danach wieder mit Minus vor das Gleichheitsszeichen.

Also:

$\begin{eqnarray*} x^2 - \frac {4}{17}x + (\frac{2}{17})^{2} - (\frac{2}{17})^{2}= \frac {32}{289} \end{eqnarray*}$

Und jetzt, wie gesagt, nach dem Motto

$\begin{eqnarray*} a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Steffen

26.01.2012, 18:20

ermeglio

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RE: Quadratische Ergänzung , wie geht man da vor?
ich weiss es ist vor meinen Augen aber ich sehe es nicht unglücklich

26.01.2012, 18:28

Steffen Bühler

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RE: Quadratische Ergänzung , wie geht man da vor?
$\begin{eqnarray*} x^2 - \frac {4}{17}x + (\frac{2}{17})^{2} - (\frac{2}{17})^{2}= \frac {32}{289} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow (x^2 - \frac {4}{17}x + (\frac{2}{17})^{2}) - (\frac{2}{17})^{2}= \frac {32}{289} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow x^2 - \frac {4}{17}x + (\frac{2}{17})^{2} = \frac {32}{289} + (\frac{2}{17})^{2} \end{eqnarray*}$

So. Links steht jetzt die binomische Formel, die Du auf die Form (a-b)² bringst. Die rechte Seite kannst Du zu einem Bruch zusammenfassen, ist nicht schwer.

Dann auf beiden Seiten die Wurzel ziehen und daran denken, daß die sowohl positiv als auch negativ ist (es gibt ja auch zwei Lösungen, die Du dann eigentlich nur noch hinschreibst). So wie die Wurzel aus 4 ja +2 und -2 ist.

Ich erzähl Dir das in dieser epischen Breite, weil ich jetzt den Kasten ausschalte.

Falls wirklich noch was unklar ist, hilft Dir bestimmt jemand anders hier.

Viele Grüße
Steffen

27.01.2012, 17:14

ermeglio

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RE: Quadratische Ergänzung , wie geht man da vor?
Hallo Steffen , zuerst mal vielen,vielen Dank, soweit eigentlich alles klar....

mit einer grosser Ausnahme... und zwar in den ganz letzten Schritten...

$\begin{eqnarray*} x-\frac{2}{17} =\frac{ \sqrt{36} }{ \sqrt{289} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-\frac{2}{17} =\pm\frac{6 }{ 17 } \end{eqnarray*}$

und daher ja 2 Resultate

$\begin{eqnarray*} x-\frac{2}{17} =\frac{6 }{ 17 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-\frac{2}{17} =-\frac{6 }{ 17 } \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt bei beiden noch das -2/17 addiere erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{6 }{ 17 }+ \frac{2}{17} =\frac{8}{17} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x =-\frac{6 }{ 17 } + \frac{2}{17} =-\frac{4}{17} \end{eqnarray*}$

im Buch finde ich aber ein unterschiedliches Resultat , und zwar:

$\begin{eqnarray*} \pm\frac{8}{17} \end{eqnarray*}$

ist mein Resulta oder das im Buch falsch???? geschockt

DANKE DANKE DANKE

gruss
ermeglio

27.01.2012, 20:16

Steffen Bühler

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RE: Quadratische Ergänzung , wie geht man da vor?

Zitat:

Original von ermeglio
$\begin{eqnarray*} x=\frac{6 }{ 17 }+ \frac{2}{17} =\frac{8}{17} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x =-\frac{6 }{ 17 } + \frac{2}{17} =-\frac{4}{17} \end{eqnarray*}$

Perfekt! Du hast's verstanden! Prost

Zitat:

Original von ermeglio
im Buch finde ich aber ein unterschiedliches Resultat , und zwar:

$\begin{eqnarray*} \pm\frac{8}{17} \end{eqnarray*}$

Wenn das wirklich da steht, schmeiß das Buch weg. Machen wir die Probe:

$\begin{eqnarray*} 17 \cdot (-\frac{8}{17})^2 - 4 \cdot (-\frac{8}{17}) - \frac{32}{17} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 17 \cdot \frac{64}{17 \cdot 17} + \frac{32}{17} - \frac{32}{17} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{64 + 32 - 32}{17} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{64}{17} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$

Also sind $\begin{eqnarray*} -\frac 8 {17} \end{eqnarray*}$ falsch. Bücher sind auch nicht mehr das, was sie mal waren.

Viele Grüße
Steffen

20.02.2012, 16:21

ermeglio

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RE: Quadratische Ergänzung , wie geht man da vor?
Auch wenn mit Verspätung:

vielen, vielen Dank für Deine Hilfe!!!

ein lieber Gruss
ermglio

Prost

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Quadratische Ergänzung , wie geht man da vor?

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