Grenzwert einer Reihe finden

26.01.2012, 19:16

protectorX

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Grenzwert einer Reihe finden

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \frac{(-3)^k+5}{4^k} \end{eqnarray*}$

Ist vermutlich eine ganz einfache geometrische Reihe - Aufgabe aber irgendwie komme ich da schon jetzt nicht weiter.

Vermutlich wird das über folgende Formel gehen müssen: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

Jedoch habe ich Probleme hier mein q genau zu erkennen. Kann ich da umordnen?

26.01.2012, 19:51

Mulder

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RE: Grenzwert einer Reihe finden
Zieh den Bruch auseinander. Dann hast du zwei geometrische Reihen und kannst die Ergebnisse einfach addieren.

26.01.2012, 19:53

protectorX

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ok irgendwie bin ich alleine draufgekommen, kann ja mal einer draufgucken ob das so stimmt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \frac{(-3)^k+5}{4^k} = \sum\limits_{k=0}^n \frac{(-3)^k}{4^k} + \sum\limits_{k=0}^n \frac{5}{4^k} \end{eqnarray*}$

Und das wiederum ergibt bei beiden Termen folgende q: 4/7 und 4/3, letzteres mit 5 multipliziert ergibt den insgesamten Grenzwert ungefähr 7.23

EDIT: Danke Mulder grad gesehen was ich davor nicht wusste ist dass ich das q beim zweiten Term mit 5 multiplizieren muss

Hier eine neue Reihe: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n 4*\frac{(-3)^k}{k!} \end{eqnarray*}$

Hierzu muss ich sagen habe ich garkeinen Ansatz

26.01.2012, 20:01

Mulder

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Wirf mal einen Blick auf die Reihendarstellung der e-Funktion. Das sollte weiter helfen.

26.01.2012, 20:08

protectorX

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Danke, hat geholfen demnach müsste $\begin{eqnarray*} \frac{4}{e^3} \end{eqnarray*}$ herauskommen. Aber wie komme ich auf diesen Hinweis bsp. in einer Klausur wenn ich keine Ahnung von dieser Reihendasrtellung habe?

26.01.2012, 20:12

Mulder

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Zitat:

Original von protectorX
Danke, hat geholfen demnach müsste $\begin{eqnarray*} \frac{4}{e^3} \end{eqnarray*}$ herauskommen.

Das würde es, wenn k bei 0 loslaufen würde. Aber k fängt bei 1 an, zumindest hast du das so geschrieben.

Zitat:

Original von protectorX
Aber wie komme ich auf diesen Hinweis bsp. in einer Klausur wenn ich keine Ahnung von dieser Reihendasrtellung habe?

Die Reihendarstellung der e-Funktion kennt man einfach. Also hämmer die in deinen Kopf rein, dann hast du das Problem auch in einer Klausur nicht.

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26.01.2012, 20:23

protectorX

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Jo das stimmt ich meinte natürlich für k=0. für k=1 müsste man nur das Summengleid für k=0 abziehen oder?

Nun zu einer weiteren Aufgabe diesmal in Abhängigkeit eines Parameters:

Für welche $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ Element R ist die Reihe konvergent und für welche sogar absolut konvergent?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^n\left( \frac{n}{n^2+2}\right)^\alpha \end{eqnarray*}$

26.01.2012, 20:31

Mulder

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Zitat:

Original von protectorX
Nun zu einer weiteren Aufgabe diesmal in Abhängigkeit eines Parameters:

Für welche $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ Element R ist die Reihe konvergent und für welche sogar absolut konvergent?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^n\left( \frac{n}{n^2+2}\right)^\alpha \end{eqnarray*}$

Ja, und nun? Wie sieht's mit eigenen Gedanken/Ansätzen aus? Boardprinzip.

Edit: Noch zu deiner anderen Frage: Genau, der Summand für k=0 müsste dann noch abgezogen werden.

26.01.2012, 20:37

protectorX

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Zuerst dachte ich einfach ich könnte es wie bisher lösen mit meinen zur Verfügung stehenden Mittlen jetzt bin ich drauf gekommen dass man dafür "Konvergenzradius" und "Konvergenzbereich" braucht. Da lese ich mich gerade ein. Nichtsdestotrotz um keine Zeit zu verlieren dachte ich poste ich mal die Aufgabe um dann gleich mit den Tipps loslegen zu können.

EDIT: Nein das stimmt nicht, hab grad mein Skript vollständig durchgesehen und Taylorpolynome und insbesondere Konvergenzradien etc... kommen erst nach dem Kapitel der Stetigkeit dran das hatten wir also bisher noch garnicht.

26.01.2012, 20:47

protectorX

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Damit hab ich garkeine Anhaltspunkte außer dass für alpha=0 die Reihe der alternierenden Reihe entspricht und diese damit nicht konvergiert.

26.01.2012, 20:50

Mulder

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Konvergenzradien betrachtet man auch eher bei Potenzreihen. Haben wir hier ja gar nicht.

Ist bei der Frage nach der Konvergenz vielleicht mit Leibniz schon mal was anzufangen?

26.01.2012, 20:55

protectorX

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Sicherlich, ist es doch eine alternierende Reihe. Aber ich kann irgendwie mit dem alpha rein garnichts anfangen. Die ersten Schritte wie man bei einer solchen Aufgabe vorgehen muss wären toll.

EDIT: Ich vermute mal man muss jeden Fall einzeln prüfen also a>0, a<0 a=0 etc.... Doch wie genau geht das?

26.01.2012, 21:00

Mulder

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Zitat:

Original von protectorX
Aber ich kann irgendwie mit dem alpha rein garnichts anfangen.

Das ist mir jetzt zu Wischiwaschi.

Leibiz sagt, dass diese Reihe konvergiert, wenn die Folge "hinter" dem (-1)^n eine Nullfolge ist (zumindest ab einem gewissen Index).

Also überleg halt mal, für welche Alpha das der Fall ist. Für Alpha=0 offensichtlich nicht, das hast du ja schon gesagt. Weiter überlegen!

Edit: Fallunterscheidung ist schon nicht schlecht. Zur Not halt auch mal konkrete Zahlen einsetzen, um einen Eindruck zu gewinnen.

26.01.2012, 21:41

protectorX

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Ok hab mal die 1 eingesetzt damit fällt das alpha ja weg sozusagen das führt zu Konvergenz nach Leibniz. Aber wie mache ich das bei den anderen Fällen. Wie will man da 0<alpha<1 testen oder gar negative Zahlen?

26.01.2012, 22:02

Mulder

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$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n^2+2} \end{eqnarray*}$ ist offensichtlich eine Nullfolge. Dann ist für $\begin{eqnarray*} \alpha > 0 \end{eqnarray*}$ doch auch $\begin{eqnarray*} \left ( \frac{n}{n^2+2} \right )^{\alpha} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge.

Für $\begin{eqnarray*} \alpha < 0 \end{eqnarray*}$ denk mal an Potenzgesetze.

27.01.2012, 16:15

protectorX

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Bin mir nicht ganz sicher auf was du hinaus willst meinst du das hier?

$\begin{eqnarray*} x^{-y} = \frac{1}{x^{y}} \end{eqnarray*}$

Was bedeutet ich würde durch null teilen?
Wie muss ich das hier interpretieren? Einfach sagen divergent?

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