Extremalsatz |
| 26.01.2012, 19:30 | inf1nity | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Extremalsatz wir betrachten normierte Räume, auf denen Abgeschlossenheit und Kompaktheit wie üblich definiert sind. Jede kompakte Menge ist notwendig beschränkt und abgeschlossen. Die Umkehrung gilt allerdings nur für , da das Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß die Existenz einer konvergenten Teilfolge im allgemeineren Fall nicht garantiert. Das stetige Bild einer kompakten Menge ist kompakt. Jetzt zu meinem eigentlichen Problem: Eine reellwertige stetige Abbildung A mit kompaktem Definitionsbereich besitzt ein Minimum und ein Maximum. Warum muss man sich hier auf reellwertige Abbildungen beschränken? Wir haben einen kompakten Definitionsbereich X gegeben und eine lineare Abbildung A. Dies führt dann zu kompaktem A(X), was wiederum dessen Abgeschlossenheit und Beschränktheit impliziert. Wegen der Kompaktheit besitzt jede Folge aus A(X) eine konvergente Teilfolge. Aus der Beschränktheit nehme ich an, dass eine von diesen konvergenten Teilfolgen gegen das Maximum/Minimum strebt und es auch erreicht, da A(X) abgeschlossen ist. Ich dachte eventuell, dass ich aus abgeschlossen+beschränkt kompakt folgern muss. Dies hätte dann zur Einschränkung auf wegen obigem Satz von Bolzano Weierstraß geführt. Aber ich sehe nicht, dass ich dies brauche. Wo ist jetzt mein Denkfehler? Ich sitze schon etwas länger daran und ich komme einfach nicht drauf. Vielen Dank im voraus! |
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| 26.01.2012, 20:24 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi,
Das liegt im Prinzip bloss daran, dass das Bild in einer totalgeordneten Menge sein muss, damit man überhaupt von Minimum und Maximum sprechen kann. Und der interessanteste Fall ist . Allerdings könntest du auch nach (oder in exotischere Räume wie ) abbilden. |
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| 26.01.2012, 20:34 | inf1nity | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank! |
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