Limit (-1)^n wie lösen ..?

26.01.2012, 20:47

Nafer

Limit (-1)^n wie lösen ..?

Meine Frage:
Hallo,
ich suche das Limit von (-1)^n wenn n --> +unendlich.
Also folgendes..:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (-1)^{n} \end{eqnarray*}$

Sollte einfach sein, aber ich bleib hier irgendwie hängen.

Meine Ideen:
Naja, Ansätze habe ich leider nicht, ich denke aber, dass es hierbei kein Ergebniss geben kann. Wenn es so ist, dann habe ich einen Fehler.

26.01.2012, 20:52

Mulder

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RE: Limit (-1)^n wie lösen ..?
Hast du mal überlegt, was die Folge eigentlich macht? Wie sieht die aus? Schreib mal die ersten paar Folgenglieder hin.

Kannst du dann vielleicht zwei Teilfolgen mit unterschiedlichen Grenzwerten angeben? Dann wäre die Divergenz der Folge bewiesen.

26.01.2012, 21:15

_Nafer

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RE: Limit (-1)^n wie lösen ..?
Hallo Mulder und danke für deine Anwtort,
Habe anscheinend falsche mail angegebn, habe auf jeden fall keine login daten bekommen, na egal..zum Thema..:
Also die Aufgabe ist folgende Reihe zu lösen,

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n} }{n(n+2)} \end{eqnarray*}$

Nach ein paar Berechnungen, kam ich auf folgendes (weiss nicht 100 % ob das so richtig ist)..:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n} }{n(n+2)} = \lim_{n \to \infty } \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - (-1)^{n} \frac{1}{2(n+1)} - (-1)^{n+1} \frac{1}{2(n+2)} \end{eqnarray*}$

Klar ist, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{2(n+2)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{2(n+1)} \end{eqnarray*}$ gleich 0 sind.

Wenn zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (-1)^{n} = \infty \end{eqnarray*}$ wäre könnte ich L'Hospital verwenden.

Deshalb meine Frage..!

26.01.2012, 21:41

_Nafer

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Tut mir leid, meine natürlich die Reihe..:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+2)} \end{eqnarray*}$

26.01.2012, 23:08

Cheftheoretiker

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Sollst du auf Konvergenz untersuchen?

26.01.2012, 23:33

_Nafer

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Nein ich soll die Summe der Reihe berechnen.

Hab jetzt ein ähnliche Aufgabe gefunden, die auch die Lösung beinhaltet.
Da soll man folgende Summe ausrechnen..:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n} \frac{2n+1}{n(n+1)} \end{eqnarray*}$

Und diese Aufgabe wird so gelöst (zwischenschritte fehlen, sind aber nicht wichtig - kann man sowieso recht einfach berechnen)..:

$\begin{eqnarray*} s_{n} = -1 + (-1)^{n}\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n} \frac{2n+1}{n(n+1)} = \lim_{n \to \infty } s_{n} = \lim_{n \to \infty } ( -1 + (-1)^{n}\frac{1}{n+1})= -1 \end{eqnarray*}$

Das heisst wohl, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } ((-1)^{n}\frac{1}{n+1})= 0 \end{eqnarray*}$

Aber wieso..?

27.01.2012, 08:31

Calvin

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RE: Limit (-1)^n wie lösen ..?

Zitat:

Original von _Nafer
Wenn zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (-1)^{n} = \infty \end{eqnarray*}$ wäre....

Mathematik ist aber kein Wunschkonzert Augenzwinkern

Deshalb schaue dir diese Folge nochmal genau an. Das hat auch Mulder schon vorgeschlagen.

Zitat:

Original von Mulder
Hast du mal überlegt, was die Folge eigentlich macht? Wie sieht die aus? Schreib mal die ersten paar Folgenglieder hin.

Vielleicht ist deine letzte Frage damit schon beantwortet.

EDIT

Zitat:

Original von _Nafer
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n} \frac{2n+1}{n(n+1)} \end{eqnarray*}$

Und diese Aufgabe wird so gelöst (zwischenschritte fehlen, sind aber nicht wichtig - kann man sowieso recht einfach berechnen)..:

Dass man sie einfach rechnen kann, mag sein. Aber unwichtig sind sie keinesfalls. Ganz im Gegenteil. Das sind genau die notwendigen Schritte, die den Reihenwert erst ermittelbar machen.

Gruß
Calvin, der jetzt wieder offline geht Augenzwinkern

Sorry fürs Einmischen Augenzwinkern

27.01.2012, 12:07

_Nafer

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RE: Limit (-1)^n wie lösen ..?
Also ihr macht mir das nicht wirklich einfach hier. Das Gegenteil werde noch weiter verwirt als ich es schon ohnehin bin.

Die Zwischenschritte von beide Reihen, habe ich auch selbst angeguckt und gelöst.
Damit werde ich aber immer noch nicht erleuchtet, wieso

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (-1)^{n} \frac{1}{2(n+1)} = 0 \end{eqnarray*}$

Das einzige was bei diesem Schritt passiert, ist, dass weil es $\begin{eqnarray*} (-1)^{n+k} \end{eqnarray*}$ vor jedem term gibt, dass so einige terme - oder + werden und somit bei der Addition wegfallen.
Somit bleiben am Ende diese Terme, die ich bei meinem 2. Post geschrieben hab übrig.
Mehr kann ich da wirklich nicht sehen, sonst hätte ich das längst schon hier geschrieben.

Und im Endeffekt, sagen wir, dass es hier nicht mehr um Reihen ginge (also wenn die Aufgabe wäre einfach nur ein Limit zu berechnen), wäre dann folgendes falsch..???? (oder nicht lösbar oder was auch immer)

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (-1)^{n} \frac{1}{2(n+1)} = 0 \end{eqnarray*}$

27.01.2012, 12:16

Mulder

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RE: Limit (-1)^n wie lösen ..?
Na, du machst es aber auch nicht einfach, du rückst auch immer erst so nach und nach mit den Infos raus. Also dein einziges Problem ist, dass du nicht einsiehst, warum

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (-1)^{n} \frac{1}{2(n+1)} = 0 \end{eqnarray*}$

gilt, ja? Dass das eine Nullfolge ist?

Diese Folge alterniert durch das (-1)^n, wechselt also immer das Vorzeichen. Mehr machen die (-1)^n nicht. Und der Bruch dahinter, der geht doch ganz eindeutig gegen 0. Betragsmäßig wird diese Folge also immer kleiner.

Das Ganze ist völlig offensichtlich, deswegen weiß man grad gar nicht so genau, was man dazu noch sagen soll. Soll jetzt aber keine Kritik sein, jeder hat mal einen Hänger zwischendurch.

Im Zweifelsfall kannst du ja auch einfach direkt mit der Definition des Folgengrenzwertes nachweisen, dass 0 der Grenzwert ist. Also ein bisschen Epsilontik. Augenzwinkern

27.01.2012, 12:29

_Nafer

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RE: Limit (-1)^n wie lösen ..?
Danke dir..!

Hatte einen Gedankenfehler, weil oft hatte ich Aufgaben, wobei ich das Limit von etwas ausrechnen sollte, wobei es keins gab, deshalb das Ganze, wollte mir nur 100 pro sicher sein.

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