Äquivalenzrelation von Gruppen und Untergruppen

26.01.2012, 22:59

Juppie

Äquivalenzrelation von Gruppen und Untergruppen

Hallo, ich habe Probleme mit folgender Aufgabe, ich stell mal vor, was ich so hab, bin mir aber sehr unsicher ob das so geht...

Aufgabe:

Es sei (G,*) Gruppe und U Untergruppe von G. Für g,h Element von G definieren wir:

$\begin{eqnarray*} g R h :\Leftrightarrow \exists x\in U: x^{-1} g x = h \end{eqnarray*}$
Zeige dass R eine Äquivalenzrelation auf G definiert.

Lösungsvorschlag:

reflexiv:

$\begin{eqnarray*} g R g :\Leftrightarrow \exists x\in U: x^{-1} g x = g \Leftrightarrow xx^{-1}gx = xg \Leftrightarrow gx = xg \Rightarrow g=g \end{eqnarray*}$

symmetrisch:

$\begin{eqnarray*} g R h :\Leftrightarrow \exists x\in U: x^{-1} g x = h \Leftrightarrow xx^{-1}gx = xh \Leftrightarrow gx = xh \Leftrightarrow gxx^{-1} = xhx^{-1} \Rightarrow g=xhx^{-1} \Rightarrow hRg \end{eqnarray*}$

ist das dann das selbe auch wenn es umgedreht ist bei dem h?

transitiv:

$\begin{eqnarray*} g R h :\Leftrightarrow \exists x\in U: x^{-1} g x = h <br /> h R l :\Leftrightarrow \exists x\in U: x^{-1} h x = l<br /> einsetzen: \Rightarrow x^{-1}x^{-1}gxx = l <br /> Sei g'=x^{-1}gx \Rightarrow x^{-1}g'x= l <br /> \Rightarrow gRl \end{eqnarray*}$

Darf man das so machen? Ich weiß es nicht...

Gruß
Juppie

26.01.2012, 23:27

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

bis auf die Symmetrie darfst du das nicht so machen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} gx = xg \Rightarrow g=g \end{eqnarray*}$

ist schlicht falsch, ebenso

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x^{-1}g'x= l \Rightarrow gRl \end{eqnarray*}$

nach Def. gilt hier höchstens $\begin{eqnarray*} g'Rl \end{eqnarray*}$ .

Dein Problem scheint hier der Existenzquantor zu sein. Zwei Gruppenelemente sind äquivalent wenn ein solches x existiert. Es genügt also ein solches anzugeben. Bei der Symmetrie zeigst du
$\begin{eqnarray*} x^{-1}gx=h \Rightarrow h=xgx^{-1}=(x^{-1})^{-1}g(x^{-1}) \end{eqnarray*}$ ,
also hRg da $\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$ die definierende Bedingung erfüllt.

Bei der Transitivität ist dein Einsetzen falsch, denn im Allgemeinen ist das "x" für gRh und hRl verschieden, das Einsetzen ergibt also $\begin{eqnarray*} y^{-1}x^{-1}gxy=l \end{eqnarray*}$

27.01.2012, 14:41

Juppie

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort Galoisseinbruder, ich versuchs nochmal:

Zitat:

Original von galoisseinbruder

bis auf die Symmetrie darfst du das nicht so machen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} gx = xg \Rightarrow g=g \end{eqnarray*}$

ist schlicht falsch, ebenso

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x^{-1}g'x= l \Rightarrow gRl \end{eqnarray*}$

Also wäre bei der Symmetrie:

$\begin{eqnarray*} gRh: x^{-1}gx = h \Leftrightarrow g=xhx^{-1}d.h. \exists x^{-1} \in U: g=(x^{-1})h((x^{-1})^{-1}) = x^{-1}hx \Rightarrow hRg \end{eqnarray*}$

wäre das so richtig?

Reflexivität:

$\begin{eqnarray*} gRg: x^{-1}gx=g \Rightarrow \exists x\in U z.B. x=1\in U:g=g \end{eqnarray*}$

stimmt das so?

Zitat:

Bei der Transitivität ist dein Einsetzen falsch, denn im Allgemeinen ist das "x" für gRh und hRl verschieden, das Einsetzen ergibt also $\begin{eqnarray*} y^{-1}x^{-1}gxy=l \end{eqnarray*}$

Transitivität:

$\begin{eqnarray*} gRh: \exists x\in U: x^{-1}gx=h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} hRl: \exists x'\in U: x'^{-1}hx'=l \end{eqnarray*}$

das heißt durch einsetzen erhält man:

$\begin{eqnarray*} x'^{-1}x^{-1}gx'x=l \end{eqnarray*}$
das heißt
$\begin{eqnarray*} \exists x' \in U z.B. x'=1 dass x^{-1}gx=l \Leftrightarrow gRl \end{eqnarray*}$

Kann man das dann so schreiben?

27.01.2012, 14:53

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ist richtig, ich würde es aber etwas anders formulieren:
Da gRh existiert ein $\begin{eqnarray*} x\in U : x^{-1}gx=h \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow (x^{-1})^{-1}hx^{-1}=g \end{eqnarray*}$ , also existiert auch ein $\begin{eqnarray*} y\in U: y^{-1}hy=g \Rightarrow hRg \end{eqnarray*}$ .
Bei der Reflexivität würde ich schlicht schreiben: gRg, da $\begin{eqnarray*} ege=g \end{eqnarray*}$ .

Die Transitivität ist aber falsch. Denn $\begin{eqnarray*} x^{-1}gx=h \end{eqnarray*}$ und nicht notwendigerweise gilt $\begin{eqnarray*} h=l \end{eqnarray*}$ . Bedenke: $\begin{eqnarray*} (xx')^{-1}=? \end{eqnarray*}$

27.01.2012, 15:02

Juppie

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Die Transitivität ist aber falsch. Denn $\begin{eqnarray*} x^{-1}gx=h \end{eqnarray*}$ und nicht notwendigerweise gilt $\begin{eqnarray*} h=l \end{eqnarray*}$ . Bedenke: $\begin{eqnarray*} (xx')^{-1}=? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (xx')^{-1}=x'^{-1}x^{-1} \end{eqnarray*}$
oder meinst du was anderes?

Also müsste ich x als neutrales Element nehmen, dass $\begin{eqnarray*} x'^{-1}gx'=l \end{eqnarray*}$ weil es sonst ja das gleihce wäre wie h und das wäre falsch?

27.01.2012, 15:06

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (xx')^{-1}=x'^{-1}x^{-1} \end{eqnarray*}$

genau das meine ich.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} gRh: \exists x\in U: x^{-1}gx=h \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} hRl: \exists x'\in U: x'^{-1}hx'=l \end{eqnarray*}$

Also
$\begin{eqnarray*} x'^{-1}x^{-1}gxx'=x'^{-1}hx'=l \end{eqnarray*}$
Gesucht ist ein $\begin{eqnarray*} y\in U : y^{-1}gy=l \end{eqnarray*}$ .