Schätzer für Binomialverteilung

27.01.2012, 09:40

ToTi

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Schätzer für Binomialverteilung

Meine Frage:
Die Taxis in New York sind durchnummeriert mit den Zahlen 1, 2, ..., N wobei hier N = Gesamtzahl
der Taxis unbekannt ist. Sie stehen an einer Straßenecke, an der jedes Taxi die gleiche Wahrscheinlichkeit
hat vorbeizufahren. Nun beobachten Sie ein vorbeifahrendes Taxi, es trägt die Nummer k.
a) Bestimmen Sie den ML-Schätzer für N.
b) Bestimmen Sie einen Schätzer für N mit der Momentenmethode.
c) Berechnen Sie Bias für beide Schätzer
d) Kann man sagen welcher der beiden Schätzer effektiver ist ?

Meine Ideen:
Zu a) $\begin{eqnarray*} P_{N} = \begin{pmatrix} N \\ n \end{pmatrix}^{-1} \end{eqnarray*}$
Zu b) $\begin{eqnarray*} M=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_{i} =µ=mp<br /> m=\frac{M}{p} \end{eqnarray*}$

27.01.2012, 12:57

Huggy

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RE: Schätzer für Binomialverteilung
Wie kommst du auf die Binomialverteilung? In der Aufgabe ist doch klar gesagt, um welche Verteilung es geht.

Was sollen deine diversen Variablen bedeuten? Wenn man den Schätzer für $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \hat N \end{eqnarray*}$ bezeichnet, so hängt $\begin{eqnarray*} \hat N \end{eqnarray*}$ nur von den Daten der Stichprobe ab. Deine Stichprobe hat nur ein einziges Datum, nämlich die Nummer $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ des vorbeifahrenden Taxis. Es ist also:

$\begin{eqnarray*} \hat N = f(k) \end{eqnarray*}$

Andere Größen können in der Schätzfunktion nicht vorkommen. Und nun erinnere dich oder schlage nach, wie man bei der ML-Methode und der Momentenmethode zu der Schätzfunktion kommt.

27.01.2012, 17:42

ToTi

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RE: Schätzer für Binomialverteilung
k ist ein beliebige Zahl und beschreibt die Mindestanzahl. Das heißt es gilt doch.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} N \\ k \end{pmatrix} ^{-1} \end{eqnarray*}$

27.01.2012, 18:29

ToTi

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RE: Schätzer für Binomialverteilung
also für P und N=k

27.01.2012, 18:42

ToTi

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RE: Schätzer für Binomialverteilung
Für die Momentmethode ist doch das erste Argument EX und das zweite VX und dann löse ich nach N auf, oder?

27.01.2012, 19:16

Huggy

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RE: Schätzer für Binomialverteilung

Zitat:

Original von ToTi
k ist ein beliebige Zahl und beschreibt die Mindestanzahl.

k ist keine beliebige Zahl, sondern es gilt $\begin{eqnarray*} 1 \leq k \leq N \end{eqnarray*}$ . Und k ist keine Mindestanzahl. Es ist einfach die Nummer des vorbeifahrenden Taxis.

Zitat:

Das heißt es gilt doch.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} N \\ k \end{pmatrix} ^{-1} \end{eqnarray*}$

Dieser Satz ist etwa so sinnvoll wie es gilt doch 13 oder es gilt doch Afrika.

Und deine nachfolgenden Beiträge sind auch nicht besser. Fangen wir mal mit der ML-Methode an:

Wie lautet die Likelihood fürdie gegebene Stichprobe? $\begin{eqnarray*} L = ??? \end{eqnarray*}$
Für welchen Wert von N wird L maximal?
Was folgt daraus für den Schätzer? $\begin{eqnarray*} \hat N = ??? \end{eqnarray*}$

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27.01.2012, 19:25

ToTi

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RE: Schätzer für Binomialverteilung
$\begin{eqnarray*} L_{x_{1},x_{k} } (N)=\begin{pmatrix} N \\ k \end{pmatrix} ^{-1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_{k} \leq N \end{eqnarray*}$ sonst 0

Von daher ist doch $\begin{eqnarray*} x_{k} \end{eqnarray*}$ der ML-Schätzer

27.01.2012, 19:37

Huggy

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RE: Schätzer für Binomialverteilung
Was soll nun schon wieder $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ sein?

In dem Problem gibt es nur k und N. Und mehr wird auch nicht gebraucht. Bei einer diskreten Verteilung ist L die Wahrscheinlichkeit für die beobachtete Stichprobe. Hier ist L also die Wahrscheinlichkeit, dass das Taxi die Nummer k hat. Und diese Wahrscheinlichkeit ist nicht

$\begin{eqnarray*} \binom N k^{-1} \end{eqnarray*}$

Mach dir die Sache doch mal an einem Beispiel klar. Nimm an N =30. Es gibt also 30 Taxen. Wie wahrscheinlich ist es, dass das Taxi Nr. 5 vorbeifährt?

27.01.2012, 20:20

ToTi

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RE: Schätzer für Binomialverteilung
1/30. Also 1/N. Aber da k=1 ist ist das doch korrekt oder? unglücklich

unglücklich

27.01.2012, 22:22

Huggy

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RE: Schätzer für Binomialverteilung
Wieso denn k = 1? In dem Beispiel war doch k = 5. Die Wahrscheinlichkeit ist für jedes k mit $\begin{eqnarray*} 1 \leq k \leq N \end{eqnarray*}$ gleich 1/N. Es steht doch in der Aufgabe, dass jedes Taxi mit gleicher Wahrscheinlichkeit vorbeikommt.

28.01.2012, 11:35

ToTi

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RE: Schätzer für Binomialverteilung
Warum k=5? k ist doch die Nummer die vorbeifährt... Der Fall ist gleichverteilt auf P=1/N. Das bedeutet das die Schätzung die ich abgebe N=k ist, denn die Nummer sehe ich und das ist die Mindestanzahl an Taxis.

28.01.2012, 12:39

Huggy

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RE: Schätzer für Binomialverteilung

Zitat:

Original von ToTi
Warum k=5? k ist doch die Nummer die vorbeifährt...

Ja eben, k ist doch in der Aufgabe als die Nummer dieses Taxis definiert.

Zitat:

Der Fall ist gleichverteilt auf P=1/N. Das bedeutet das die Schätzung die ich abgebe N=k ist, denn die Nummer sehe ich und das ist die Mindestanzahl an Taxis.

Das ist richtig, aber die Begründung ist nicht ausreichend.

Du musst darauf achten, N und den Schätzer für N unterschiedlich zu bezeichnen, sonst gibt es Tohuwabohu. Ich bleibe mal dabei, den Schätzer $\begin{eqnarray*} \hat N \end{eqnarray*}$ zu nennen. Du kannst gerne eine andere Bezeichnung wählen. Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \hat N = k \end{eqnarray*}$

Und ein kleinerer Wert für den Schätzer ergibt keinen Sinn. Aber weshalb ist der Schätzer nicht größer als k? Du musst mit der ML-Methode argumentieren.

28.01.2012, 12:55

ToTi

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RE: Schätzer für Binomialverteilung
Ich denke mal das Stichwort ist da Plausibilität.
Ok... Ich gucke mir mal die Momentenmethode an und dann versuche ich meine Idee zu schildern...
Danke schon mal für die ganze Hilfe... Freude

Freude

28.01.2012, 13:46

Huggy

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RE: Schätzer für Binomialverteilung
Plausibilität ist kein ausreichender Grund. Die Antwort ergibt sich streng mathematisch aus der ML-Methode.

28.01.2012, 14:21

ToTi

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RE: Schätzer für Binomialverteilung
b) Die Momentenmehtode benutzt die Momente M. Für den einen Parameter benötige ich also ein Moment.
Ich habe
$\begin{eqnarray*} E(X)=\sum\limits_{i=1}^n Xi <br /> <br /> M=\sum\limits_{i=1}^n Xi =Np=N\frac{1}{N} =1<br /> <br /> N_{m} =\sum\limits_{i=1}^n Xi \end{eqnarray*}$

28.01.2012, 15:21

Huggy

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RE: Schätzer für Binomialverteilung

Zitat:

Original von ToTi
Ich habe
$\begin{eqnarray*} E(X)=\sum\limits_{i=1}^n Xi \end{eqnarray*}$

Falsch! Denk noch mal nach.
Ich nehme an, $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ sollen die Werte sein, die die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ annehmen kann. Dann solltest du nach üblicher Konvention besser $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ schreiben.

Falls $\begin{eqnarray*} N_m \end{eqnarray*}$ der Schätzer für N sein soll, muss dein Ergebnis die Form

$\begin{eqnarray*} N_m=f(k) \end{eqnarray*}$

haben. Du solltest deine Bezeichnungen erläutern.

28.01.2012, 15:36

ToTi

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RE: Schätzer für Binomialverteilung
Aber rechnet man das nicht über den Erwartungswert?
Ich habe das 1/N vergessen.
$\begin{eqnarray*} E(X)=\sum\limits_{i=1}^n Xi=k \end{eqnarray*}$ , denn mehr erwartet ich ja auch nicht.

28.01.2012, 15:44

Huggy

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RE: Schätzer für Binomialverteilung

Zitat:

Original von ToTi
Aber rechnet man das nicht über den Erwartungswert?

Tut man, aber deine Formel für den Erwartungswert ist falsch.

Zitat:

Ich habe das 1/N vergessen.

Hast du! Und die Summe sollte dann bis N gehen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} E(X)=\sum\limits_{i=1}^n Xi=k \end{eqnarray*}$ , denn mehr erwartet ich ja auch nicht.

Falsch. Ich sehe noch immer nicht den Faktor 1/N. Und k kommt schon gar nicht heraus.
Der Erwartungswert ist nicht das, was du erwartest, sondern das, was sich aus seiner Definition rechnerisch ergibt.

28.01.2012, 15:49

ToTi

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RE: Schätzer für Binomialverteilung
$\begin{eqnarray*} E(X)=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^N xi=NP=k\frac{1}{N}=\frac{k}{N} \end{eqnarray*}$

28.01.2012, 16:03

Huggy

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RE: Schätzer für Binomialverteilung
Das erste Gleichheitszeichen ist jetzt richtig. Der Rest ist unverständlich und falsch. Was soll denn P bei dir sein?

Um die Sache abzukürzen: Die $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ sind doch gerade die Taxinummern. Und wenn wir für die bei der Bezeichnung k bleiben, hat man:

$\begin{eqnarray*} E(X)=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N k \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du die rechte Seite ausrechnen. Den Mittelwert der Zahlen von 1 bis N sollte man allerdings auch ohne Rechnung wissen.

28.01.2012, 16:15

ToTi

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RE: Schätzer für Binomialverteilung
p=1/N die Wahrscheinlichkeit des Auftretens.
k/N würde dann doch der Mittelwert sein. Oder stehe ich völlig auf dem Schlauch.

k ist das vorbeifahrende Auto und xi sind die einzelnen Taxis mit den Nummer 1,..,N.

28.01.2012, 16:25

Huggy

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RE: Schätzer für Binomialverteilung
Du stehst wirklich völlig auf dem Schlauch. Vielleicht wäre es besser gewesen, die allgemeine Taxinummer, über die summiert wird, i zu nennen, um sie von der speziellen Nummer k des aktuell vorbeifahrenden Taxis zu unterscheiden. Dann hat man

$\begin{eqnarray*} E(X)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N i \end{eqnarray*}$

Und noch immer ist die rechte Seite zu berechnen. Und das Ergebnis kann offensichtlich nicht von k abhängen. k kommt erst im nächsten Schritt bei der Momentenmethode ins Spiel.

28.01.2012, 17:01

ToTi

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RE: Schätzer für Binomialverteilung
Ich versuche es noch mal... i sind die Taxis also i {1,...,N} und allgemein ist E(X)=np in dem Fall $\begin{eqnarray*} E(X)=\frac{N+1}{2} \end{eqnarray*}$

28.01.2012, 17:20

Huggy

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RE: Schätzer für Binomialverteilung
Jetzt ist das richtig. Diese Gleichung stellt man nun nach N um:

$\begin{eqnarray*} N = ... \end{eqnarray*}$

Damit ist der erste Schritt der Momentenmethode geschafft. Der unbekannte, zu schätzende Parameter N ist durch das erste Moment $\begin{eqnarray*} \mu=E(X) \end{eqnarray*}$ der Verteilung von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ausgedrückt worden.

Was ist nun der nächste und letze Schritt?

28.01.2012, 17:40

ToTi

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RE: Schätzer für Binomialverteilung
$\begin{eqnarray*} N=2E(X)-1 \end{eqnarray*}$

nehme ich da jetzt die Varianz?

28.01.2012, 18:01

Huggy

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RE: Schätzer für Binomialverteilung
Was willst du denn im Moment mit der Varianz?
Bevor du eine solche Aufgabe angehst, musst du dir unbedingt die Schritte der geforderten Verfahren zu Gemüte führen.

Der zweite und letzte Schritt ist:
Man ersetze auf der linken Seite der Gleichung den unbekannten Parameter N durch seinen Schätzer $\begin{eqnarray*} \hat N \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} N_m \end{eqnarray*}$ (was dir lieber ist). Man ersetze auf der rechten Seite der Gleichung das Moment $\begin{eqnarray*} \mu =E(X) \end{eqnarray*}$ der Verteilung von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ durch das entsprechende Moment der Stichprobe, also hier durch den Mittelwert der Stichprobe. Und deine Stichprobe ist hier die Nummer k des Taxis.

Was ergibt sich?

28.01.2012, 18:19

ToTi

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RE: Schätzer für Binomialverteilung
oh man... Da ich ja nur das k-te Taxi sehe ist das doch auch mein Mittelwert...

28.01.2012, 18:23

ToTi

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RE: Schätzer für Binomialverteilung
$\begin{eqnarray*} \hat N= 2k-1 \end{eqnarray*}$ Will gar nicht an die aufgabenteile c) und d) denken...

28.01.2012, 18:30

Huggy

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RE: Schätzer für Binomialverteilung
Ganz richtig!
Der Mittelwert einer Stichprobe, die nur aus dem Wert k besteht ist k. Man erhält also

$\begin{eqnarray*} \hat N = N_m=2k-1 \end{eqnarray*}$

Der ML-Schätzer und der Momentenschätzer unterscheiden sich stark. Das ist sicher eine der Sachen, die ihr bei dieser Aufgabe lernen sollt. Allerdings unterscheiden sich die beiden Schätzer nicht immer. Das hängt vom konkreten Problem ab.

Und was die weiteren Aufgabenteile betrifft: Schreibe nicht irgendwelche Gleichungen hin. Halte dich an die Definitionen.

28.01.2012, 18:32

ToTi

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RE: Schätzer für Binomialverteilung
Danke... Werde ich versuchen Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.01.2012, 18:56

ToTi

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RE: Schätzer für Binomialverteilung
$\begin{eqnarray*} bias_{\hat N} (N)= E_{N} (\hat N) - g(N) \end{eqnarray*}$
für a) war $\begin{eqnarray*} \hat N = k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} bias_{\hat N} (N)= \frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^N i - N<br /> = \frac{1}{N} N k - N = k - N \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

28.01.2012, 19:13

Huggy

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RE: Schätzer für Binomialverteilung
Sorry, habe erst morgen wieder Zeit.

29.01.2012, 08:43

Huggy

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RE: Schätzer für Binomialverteilung

Zitat:

Original von ToTi
$\begin{eqnarray*} bias_{\hat N} (N)= E_{N} (\hat N) - g(N) \end{eqnarray*}$

Was soll $\begin{eqnarray*} g(N) \end{eqnarray*}$ sein?
Und der Index N ist überflüssig.

Zitat:

für a) war $\begin{eqnarray*} \hat N = k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} bias_{\hat N} (N)= \frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^N i - N \end{eqnarray*}$

Soweit richtig.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{N} N k - N = k - N \end{eqnarray*}$

Und das ist Unfug.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^N i \end{eqnarray*}$

hast du kurz vorher doch schon mal ausgerechnet. Seitdem haben sich die Gesetze der Mathematik nicht geändert.

29.01.2012, 12:01

ToTi

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RE: Schätzer für Binomialverteilung
Aber es ist doch $\begin{eqnarray*} E(\hat N) \end{eqnarray*}$ und daher E(k). Und der Erwartungswert von k ist doch k.
g(N) bildet die Funktion von N.

29.01.2012, 12:42

Huggy

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RE: Schätzer für Binomialverteilung
Dein Unverständnis übersteigt meine Strapazierfähigkeit. Ich korrigiere dich hier noch mal. Danach bin ich raus. Vielleicht bringt ein anderer die Geduld auf weiterzumachen.

Zitat:

Original von ToTi
Aber es ist doch $\begin{eqnarray*} E(\hat N) \end{eqnarray*}$ und daher E(k). Und der Erwartungswert von k ist doch k.

Das ist Quark!
Ausgehend von der richtigen Gleichung beim ML-Schätzer

$\begin{eqnarray*} Bias(\hat N)=E(\hat N)-N=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N i -N \end{eqnarray*}$

bekommt man

$\begin{eqnarray*} Bias(\hat N)=\frac{1}{N}\frac{N(N+1)}{2}-N=\frac{N+1}{2}-N=\frac{1-N}{2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

g(N) bildet die Funktion von N.

Ein so unsinnigen Satz habe ich selten gelesen.

29.01.2012, 19:49

Fremder

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RE: Schätzer für Binomialverteilung

Zitat:

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{N} N k - N = k - N \end{eqnarray*}$
Und das ist Unfug.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^N i \end{eqnarray*}$

hast du kurz vorher doch schon mal ausgerechnet. Seitdem haben sich die Gesetze der Mathematik nicht geändert.

Was ist denn hieran jetzt genau falsch?

wir haben für a) gesagt
$\begin{eqnarray*} \hat N = k \end{eqnarray*}$
und es gilt:
$\begin{eqnarray*} bias_{\hat N} (N)= \frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^N i - N \end{eqnarray*}$

Wenn man das einsetzt, erhält man doch genau

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{N} N k - N = k - N \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

30.01.2012, 08:13

Huggy

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RE: Schätzer für Binomialverteilung
Wieso soll denn

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^N i=Nk \end{eqnarray*}$

sein? Die Summe hängt doch gar nicht von der spezifischen Nummer k des vorbeifahrenden Taxis ab. Sei z. B. N = 3. Dann ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^N i =1+2+3=6 \end{eqnarray*}$

und zwar völlig unabhängig davon, ob das Taxi 1, 2 oder 3 gerade vorbeifährt.

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