Rechenaufgaben (Brett vorm Kopf)

27.01.2012, 09:43

dreikommadrei

Rechenaufgaben (Brett vorm Kopf)

Habe hier eine Übungsklausur bei der es zum ende noch 3 Rechenaufgaben gibt. Aber irgendwie komme ich da nicht wirklich weiter.

1) Berechnen sie $\begin{eqnarray*} 5^3-5^6+5^9-5^12+...-5^{6n} \end{eqnarray*}$

2) Vereinfachen sie für $\begin{eqnarray*} x \not= -1 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \frac{ (x^2y^2+x^2-y^2-1)}{x+1} \end{eqnarray*}$

3) Zerlegen Sie in Faktoren:
$\begin{eqnarray*} a^3-b^3+a^2+ab+b^2 \end{eqnarray*}$

zu 1)

$\begin{eqnarray*} 5^3-5^6+5^9-5^12+...-5^{6n}=\sum\limits_{k=1}^{2n} 5^{3n}*(-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ Aber wie rechne ich jetzt weiter?

zu 2) $\begin{eqnarray*} \frac{ (x^2y^2+x^2-y^2-1)}{x+1}=\frac{(xy)^2-1+(x+y)(x-y)}{x+1}=\frac{(xy+1)(xy-1)+(x+y)(x-y)}{x+1} \end{eqnarray*}$

aber irgendwie sieht das nicht wirklich vereinfacht aus...

zu 3)
$\begin{eqnarray*} a^3-b^3+a^2+ab+b^2=(a^2+b^2)(a^2-b^2)+(a+b)(a+b)-ab \end{eqnarray*}$
auch hier hab ich irgendwie ein Brett vorm Kopf... :/

27.01.2012, 11:43

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechenaufgaben (Brett vorm Kopf)
1)
$\begin{eqnarray*} 5^3-5^6+5^9-5^{12}+...-5^{6n}=\sum\limits_{k=1}^{2n} 5^{3n}*(-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$

die pos. und die neg. Glieder in 2 Partialsummen zusammenfassen?

2) polynomdivision führt auf $\begin{eqnarray*} (y^2+1)x - (y^2+1)= ... \end{eqnarray*}$

3) Zerlegen Sie in Faktoren:
$\begin{eqnarray*} a^3-b^3+a^2+ab+b^2= (a-b+1)(a^2+ab+b^2) \end{eqnarray*}$

28.01.2012, 12:03

dreikommadrei

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechenaufgaben (Brett vorm Kopf)

Zitat:

Original von Dopap
1)
$\begin{eqnarray*} 5^3-5^6+5^9-5^{12}+...-5^{6n}=\sum\limits_{k=1}^{2n} 5^{3n}*(-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$

die pos. und die neg. Glieder in 2 Partialsummen zusammenfassen?

$\begin{eqnarray*} 5^3-5^6+5^9-5^{12}+...-(5^6)^n=\sum\limits_{k=1}^{n} 5^{6n-3}- \sum\limits_{k=1}^{n} 5^{6^n} \end{eqnarray*}$

Geometrische Reihe:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} (5^6)^n=5^6+5^{12}+5^{18}...=\frac{ (5^6)^{n+1}-1}{5^6-1}-1=\frac{ 5^{6n+6}-5^6}{5^6-1} \end{eqnarray*}$

Aber was mach ich mit
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} 5^{6n-3} \end{eqnarray*}$
Wird wohl darauf hinaus laufen, dass ich auch dies in eine Geometrische Reihe umwandel aber irgendwie komme ich nicht drauf, wie ich das hinbekomme

Zitat:

Original von Dopap
2) polynomdivision führt auf $\begin{eqnarray*} (y^2+1)x - (y^2+1)= ... \end{eqnarray*}$

Also nach Polynomdivision erhalte ich
$\begin{eqnarray*} xy^2-y^2+x-1=x(y^2+1)-(y^2+1)=(y^2+1)(x-1) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Dopap
3) Zerlegen Sie in Faktoren:
$\begin{eqnarray*} a^3-b^3+a^2+ab+b^2= (a-b+1)(a^2+ab+b^2) \end{eqnarray*}$

aber kannst du mir verraten wie du drauf kommst? Oder hast du einfach probiert? zunächst einach a-b ausgeklammert und dann geschaut was noch fehlt?

Danke schon jetzt für die super Hilfe Freude

28.01.2012, 12:41

tipp1

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechenaufgaben (Brett vorm Kopf)
Nur als kleinen Tipp für die Reihe

$\begin{eqnarray*} 5^{6n-3}=\frac{5^{6n}}{5^3}= \frac{1}{125} \cdot 5^{6n} \end{eqnarray*}$

Dann kannst du ja was vor das Summenzeichen ziehen.

28.01.2012, 13:33

dreikommadrei

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tipp1
Nur als kleinen Tipp für die Reihe

$\begin{eqnarray*} 5^{6n-3}=\frac{5^{6n}}{5^3}= \frac{1}{125} \cdot 5^{6n} \end{eqnarray*}$

Dann kannst du ja was vor das Summenzeichen ziehen.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} (5^6)^n=5^6+5^{12}+5^{18}...=\frac{ (5^6)^{n+1}-1}{5^6-1}-1=\frac{ 5^{6n+6}-5^6}{5^6-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} 5^{6n-3}=\sum\limits_{k=1}^{n} 5^{6n}*\frac{1}{5^3}=\frac{1}{5^3}*\sum\limits_{k=1}^{n} (5^6)^n=\frac{1}{5^3}*\frac{ 5^{6n+6}-5^6}{5^6-1}=\frac{ 5^{6n+6}-5^6}{5^9-5^3} \end{eqnarray*}$

Also ist

$\begin{eqnarray*} 5^3-5^6+5^9-5^{12}+...-(5^6)^n=\sum\limits_{k=1}^{n} 5^{6n-3}- \sum\limits_{k=1}^{n} 5^{6^n}=\frac{ 5^{6n+6}-5^6}{5^9-5^3}-\frac{ 5^{6n+6}-5^6}{5^6-1}=\frac{ 5^{6n+6}-5^6-5^{6n+9}+5^9}{5^9-5^3}\\=\frac{ 5^3(5^{6n+3}-5^3-5^{6n+6}+5^6)}{5^3(5^6-1)}=\frac{ 5^{6n+3}-5^3-5^{6n+6}+5^6}{5^6-1}=\frac{(1-5^3)(5^{6n+3}-5^3)}{5^6-1} \end{eqnarray*}$

denn
$\begin{eqnarray*} 5^{6n+3}-5^3-5^{6n+6}+5^6=5^{6n+3}(1-5^3)+(-5^3)(1-5^3)=(1-5^3)(5^{6n+3}-5^3) \end{eqnarray*}$

sollte man hier noch weiter gehen?

28.01.2012, 13:36

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechenaufgaben (Brett vorm Kopf)
bei $\begin{eqnarray*} a^2-b^2 \end{eqnarray*}$ fällt jedem etwas ein,
bei $\begin{eqnarray*} a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \end{eqnarray*}$ aber nicht.
bei $\begin{eqnarray*} a^4-b^4=(a-b)(a+b)(a^2+b^2) \end{eqnarray*}$
bei $\begin{eqnarray*} a^5-b^5=(a-b)(...) \end{eqnarray*}$
bei $\begin{eqnarray*} a^6-b^5=(a-b)(a+b)(...) \end{eqnarray*}$

auf jeden Fall lässt sich immer a-b ausklammern!

28.01.2012, 14:24

dreikommadrei

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechenaufgaben (Brett vorm Kopf)

Zitat:

Original von Dopap
bei $\begin{eqnarray*} a^2-b^2 \end{eqnarray*}$ fällt jedem etwas ein,
bei $\begin{eqnarray*} a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \end{eqnarray*}$ aber nicht.
bei $\begin{eqnarray*} a^4-b^4=(a-b)(a+b)(a^2+b^2) \end{eqnarray*}$
bei $\begin{eqnarray*} a^5-b^5=(a-b)(...) \end{eqnarray*}$
bei $\begin{eqnarray*} a^6-b^5=(a-b)(a+b)(...) \end{eqnarray*}$

auf jeden Fall lässt sich immer a-b ausklammern!

danke =)

Neue Frage »

Antworten »

Rechenaufgaben (Brett vorm Kopf)

Verwandte Themen