analytischer Beweis einer geometrischen Konstruktion - Wurzeln einer quadratischen Gleichung

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Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »
analytischer Beweis einer geometrischen Konstruktion - Wurzeln einer quadratischen Gleichung
Eine von Felix Klein angegebene Konstruktion der Lösungen einer Gleichung der Form soll bewiesen werden. Ich suche nach einem einfachen Beweis.

Konstruktionsbeschreibung
Zeichne einen Kreis mit und . In und sind die Tangenten zu zeichnen. Es sei und . Die Gerade schneidet den Kreis im Punkt und . Die Geraden und schneiden die Gerade in und . und sind dann die Wurzeln der Gleichung .
(siehe Zeichnung)

[attach]22864[/attach]

Ich habe eine Tangente als x-Achse gewählt und den Kreis so gelegt, dass auf der y-Achse liegt.
1.) berechne ich die Gleichung
2.) dann den Schnittpunkt mit dem Kreis
3.) Berechnung der Geraden und aus und den Schnittpunkten aus 2.)
4.) die Schnittstellen der Geraden und mit der x-Achse sind dann die gesuchten Lösungen.

Das ist aber mit Papier und Bleistift ein extremer Rechenaufwand!
Daher habe ich versucht einen einfacheren Beweis zu finden, habe aber bis jetzt nur den Fall

mit der einzigen Lösung ganz locker durchrechnen können.
Ich finde aber keinen besseren kürzeren Beweis für den allgemeinen Fall.
Vielleicht hat einer von euch eine Idee


Grüße Wink
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: analytischer Beweis einer geometrischen Konstruktion - Wurzeln einer quadratischen Gleichung
du scheinst mir das problem eher leger formuliert zu haben Augenzwinkern
ich denke du konstruierst die lösungen der quadratischen gleichung



den allgemeinen fall würde ich nicht analytisch angehen, das ergibt wirklich häßliche würste, auch wenn´s weiter nicht schwer dafür umso reizloser ist.

ein besserer weg dürfte ein elementargeometrischer ansatz sein.
da findest du mit strahlensatz, pythagoras etc. das auslangen, also so mit ca. 5 - 6 zeilen "mathecode" ist der beweis erbracht Augenzwinkern
Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »

Warum leger, ist doch ganz simpel! smile In dem Buch stand "Der Beweis sei einfach und er wird dem Leser überlassen", soviel dazu.

Achtung: die Gerade P'Q' geht nicht durch M, dass scheint nur so, das ist Zufall in der Zeichnung

Ich würde jetzt spontan folgendes sehen, wenn auch nicht viel:

- die beiden Tangenten sind Parallelen
- das Dreieck PAP' ist dem Dreieck Q'AX ähnlich (es scheint so)
- ich kenne die Strecke OP sowie die Strecken Q'Y, YX, QX, QQ', QY
- man könnte vielleicht den Satz des Thales irgendwie anwenden


aber ich sehe irgendwie keinen Zusammenhang (Brett vorm Kopf)



Grüße
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Christian_P
Warum leger, ist doch ganz simpel! smile In dem Buch stand "Der Beweis sei einfach und er wird dem Leser überlassen", soviel dazu.

Achtung: die Gerade P'Q' geht nicht durch M, dass scheint nur so, das ist Zufall in der Zeichnung

Ich würde jetzt spontan folgendes sehen, wenn auch nicht viel:

- die beiden Tangenten sind Parallelen
- das Dreieck PAP' ist dem Dreieck Q'AX ähnlich (es scheint so)
- ich kenne die Strecke OP sowie die Strecken Q'Y, YX, QX, QQ', QY
- man könnte vielleicht den Satz des Thales irgendwie anwenden


aber ich sehe irgendwie keinen Zusammenhang (Brett vorm Kopf)



Grüße


anscheinend ist dir das wort "leger" nicht geläufig.
wenn ich nicht so ein netter kerl wäre, hätte ich geschrieben: falsch unglücklich

seit wann haben denn strecken ein (negatives) vorzeichen verwirrt bzw. was soll das denn bedeuten verwirrt

da es eh ganz simpel ist, wo hast DU ein problem verwirrt

1) strahlensatz
2) pythagoras
3) kathetensatz
4) zusammen fassen
Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »

riwe Achtung! Ironie!

Es ist doch offensichtlich, das ich keinen Plan habe.


Könntest du mir einen konkreten Ansatz sagen? Wäre wirklich sehr lieb.



Grüße
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

du hast eine sehr eigenwillige art, um hilfe zu bitten unglücklich

aufgabe: man trage die strecke wie im bilderl auf der tangente durch P nach links und analog nach rechts ab.......

man zeige und sind die lösungen der quadratischen gleichung



mit und

1.) strahlensatz



2.) pythagoras




3.) kathetensatz




aus 1.) bekommst du die gewünschte beziehung.

genug der hilfe verwirrt
 
 
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