Konvergenz von Reihen mit verschiedenen Kriterien

27.01.2012, 12:08

Matzemathiker

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Konvergenz von Reihen mit verschiedenen Kriterien

Ich soll überprüfen, ob folgende Reihen konvergieren.

Ich habe hierbei das Quotientenkriterium angewendet ? man frag sich aber immer wieder bei überprüfung der konverghenz, welche man nehmen soll aus diesen vielen verschieden kriterien. vielleicht habt ihr ja ein tip nebenbei gefragt.

also die aufgabe leutet wie folgt. $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k} }{k^{2} } \end{eqnarray*}$

dazu habe ich folgenden Lösungsweg eingesachlagen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{(-1)^{k+1} }{(k+1)^{2} }}{\frac{(-1)^{k} }{k^{2} }} \end{eqnarray*}$

das nun umgeformt komme ich auf und die frage, kann man die potenzen k und 2 wegkürzen ?
$\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{k+1} }{(k+1)^{2} } \cdot \frac{(k)^{2} }{(-1)^{k} }<br /> \end{eqnarray*}$

wenn das mit den potenzen kürzen geht was ich hoffe zu meinen hab ich die lösung: konvergiert gegen - 1

das hier ist ne andere aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k-1}{2k+1} <br /> \end{eqnarray*}$

ich verkürze mal hier, wenn die lösung richtig ist, hab ich auch den weg dahin korrekt gemacht.

Lösung konvergiert gegen 1

27.01.2012, 12:23

Mulder

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RE: Konvergenz von Reihen mit verschiedenen Kriterien
Du kannst nur (-1)^(k+1) / (-1)^k zu (-1) vereinfachen. Allerdings betrachtet man ja eigentlich ohnehin den Betrag dieses Quotienten, daher kannst du diese (-1)^ Terme sowieso komplett weglassen.

Dann hast du allerdings das Problem, dass der Quotient gegen 1 geht, das Quotientenkiriterium hilft dir also nicht weiter.

Bei alternierenden Reihen würde ich immer als allererstes mal auf das Leibnizkriterium schielen.

Ansonsten ist das Übungssache, was man wann am besten nehmen kann. Manchmal gibt's auch mehrere Möglichkeiten. Üben!

Edit: Deine zweite Reihe divergiert ganz offensichtlich, wenn du dich da nicht verschrieben hast.

27.01.2012, 13:10

Matzemathiker

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RE: Konvergenz von Reihen mit verschiedenen Kriterien
also so:
$\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{k+1} }{(-1)^k } \Leftrightarrow \frac{(-1)^{1} }{(-1)^0 } \Leftrightarrow - 1 \end{eqnarray*}$

und wieso kann man nicht die potenz 2 kürzen ?

oh echt? shiiiit stimmt, im betrag

bei der ersten aufgabe ist es dann $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k} }{k^{2} } = \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k}\cdot \frac{1}{k^{2} } \end{eqnarray*}$

da sieht man sofort , dass es eine alternierende reihe ist, nun muss man nur noch festellen , ob es eine nullfokge ist. dies ist nun auch offensichtlich. kann mir da vielleicht einer helfen, wie man das formal korrekt aus´fschreibt bzgl. der nullfolge. das mit der alterniernden reihe muss man ja nicht mehr zeigen , stimmt's ??

die zweite aufgabe guck ich mir noch mal an, eine gaaanz allgemeine frage, konvergiert eine reihe nur gegen Null, oder auch gegen andere Zahlen. ich frag so blöd, weil ich ab und zu mein prof nicht verstehe

danke

27.01.2012, 13:22

Mulder

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RE: Konvergenz von Reihen mit verschiedenen Kriterien

Zitat:

Original von Matzemathiker
also so:
$\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{k+1} }{(-1)^k } \Leftrightarrow \frac{(-1)^{1} }{(-1)^0 } \Leftrightarrow - 1 \end{eqnarray*}$

und wieso kann man nicht die potenz 2 kürzen ?

Das solltest du seit Schulklasse 5 oder 6 wissen. Überleg mal.

Zitat:

Original von Matzemathiker
dies ist nun auch offensichtlich. kann mir da vielleicht einer helfen, wie man das formal korrekt aus´fschreibt bzgl. der nullfolge.

Das sollte man eigentlich als gegeben annehmen können. Das sieht man doch sofort. Zur Not kannst du es natürlich explizit mit der Definition des Folgengrenzwertes zeigen, dass diese Folge gegen 0 konvergiert. Würd mich aber wundern, wenn du das müsstest.

Zitat:

Original von Matzemathiker
eine gaaanz allgemeine frage, konvergiert eine reihe nur gegen Null, oder auch gegen andere Zahlen. ich frag so blöd, weil ich ab und zu mein prof nicht verstehe

Ich hab ehrlich gesagt noch nie eine unendliche Reihe gesehen, die tatsächlich gegen 0 konvergiert. Die Folge muss logischerweise gegen 0 konvergieren, aber die Folge der Partialsummen (also die Reihe) nicht.

27.01.2012, 13:32

Matzemathiker

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RE: Konvergenz von Reihen mit verschiedenen Kriterien
$\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{k+1} }{(k+1)^{2} } \cdot \frac{(k)^{2} }{(-1)^{k} } \end{eqnarray*}$

ok ist klar, wenn ich dass machen dürfte müsste es z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{k+1} }{(k)^{2} } \cdot \frac{(k)^{2} }{(-1)^{k} } \end{eqnarray*}$ danke dazu

ok,dann wenn ich es kurz begründe, dann ist das erledigt. zu dem letzten zitat:

reihe und folge sind ein paar verschidene schuhe. um es salopp auszudrücken.

was ist dann mit einer folge wie z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} + 1 , n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

die konvergiert doch gegen 1, heisst es jetzt , weil es nicht gegen 0 konvergiert, dass sie NICHT konvergiert? so verstehe ich das jetzt nämlich

27.01.2012, 13:35

Mulder

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RE: Konvergenz von Reihen mit verschiedenen Kriterien
Die Folge konvergiert gegen 1.

Wenn ich sage, dass die Folge gegen 0 gehen muss, rede ich nur davon, dass bei Reihen

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} a_n \end{eqnarray*}$

die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergieren muss, damit die Reihe überhaupt konvergieren kann.

Wir reden hier doch von Reihen, nicht von Folgen. Wobei letztlich natürlich Reihen auch (spezielle) Folgen sind, nämlich Folgen von Partialsummen.

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27.01.2012, 13:38

Matzemathiker

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RE: Konvergenz von Reihen mit verschiedenen Kriterien
ok jetzt hab ich's kapiert, also nur wenn es darum geht zu überprüfen, ob eine reihe konvergiert muss DESSEN folge gegen 0 konvergieren.

alles klar, ich verstehe nur manchmal die sprache der mathematik nicht immer sofort und hack lieber ein paar mal noch nach Wink

Wink

danke

27.01.2012, 13:41

Mulder

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RE: Konvergenz von Reihen mit verschiedenen Kriterien

Zitat:

Original von Matzemathiker
ok jetzt hab ich's kapiert, also nur wenn es darum geht zu überprüfen, ob eine reihe konvergiert muss DESSEN folge gegen 0 konvergieren.

Ja. Wobei man jetzt nicht dem Trugschluss erliegen sollte, dass das dann schon ausreicht. Zum Beispiel harmonische Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac 1 n \end{eqnarray*}$

Diese Reihe divergiert, OBWOHL die Folge $\begin{eqnarray*} \frac 1 n \end{eqnarray*}$ ja gegen 0 konvergiert.

Es ist also notwendig, aber nicht hinreichend.

27.01.2012, 13:48

Matzemathiker

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RE: Konvergenz von Reihen mit verschiedenen Kriterien
ah ja ok, dann muss ich wohl aufpassen. danke für die info

27.01.2012, 18:12

Matzemathiker

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RE: Konvergenz von Reihen mit verschiedenen Kriterien

Zitat:

Original von Mulder

Edit: Deine zweite Reihe divergiert ganz offensichtlich, wenn du dich da nicht verschrieben hast.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k-1}{2k+1} <br /> \end{eqnarray*}$

divergiert, da die dazugehörige reihe gegen 1 konvergiert , ist das richtig?

29.01.2012, 23:35

Matzemathiker

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RE: Konvergenz von Reihen mit verschiedenen Kriterien

Zitat:

Original von Matzemathiker
eine gaaanz allgemeine frage, konvergiert eine reihe nur gegen Null, oder auch gegen andere Zahlen. ich frag so blöd, weil ich ab und zu mein prof nicht verstehe
Edit: Deine zweite Reihe divergiert ganz offensichtlich, wenn du dich da nicht verschrieben hast.

Zitat:

Original von Mulder
Die Folge konvergiert gegen 1.

Wenn ich sage, dass die Folge gegen 0 gehen muss, rede ich nur davon, dass bei Reihen

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} a_n \end{eqnarray*}$

die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergieren muss, damit die Reihe überhaupt konvergieren kann.

Wir reden hier doch von Reihen, nicht von Folgen. Wobei letztlich natürlich Reihen auch (spezielle) Folgen sind, nämlich Folgen von Partialsummen.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k-1}{2k+1} <br /> \end{eqnarray*}$

divergiert, da die dazugehörige reihe gegen 1 konvergiert , ist das richtig?[/quote]

jetzt hab ich ein kollegen gefragt, der sich gut in der materie auskennt. also

dieser sagte mir dass, um auf die frage zurück zukommen, $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^\infty \left(\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \right) \end{eqnarray*}$ dessen partailsumme
$\begin{eqnarray*} S_{n} = \sum\limits_{k=2}^n \left(\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \right) \end{eqnarray*}$ und wiederrum dessen Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} = \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right) \end{eqnarray*}$ gegen 1 konvergiert und SOMIT zurückfolgend die DAZUGEHÖRIGE unendliche REIHE gegen 1 KONVERGIERT

was soll ich nun glauben ? bitte HELP

29.01.2012, 23:50

Kos

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Die Reihe divergiert, da sie keine Nullfolge ist. ( Sie konvergiert im Übrigen gegen 1/2 )

Dein Freund mag Recht haben, aber das was du gepostet hast, ist nicht der gleiche Ausdruck wie bei der Reihe oben.

29.01.2012, 23:55

Kos

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Sorry, das war jetzt absolut dämlich ausgedrückt, wie ich gerade sehe.

Also nochmal:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k-1}{2k+1} \end{eqnarray*}$

divergiert, denn die dazugehörige Folge geht gegen 1/2 und ist somit keine Nullfolge.

30.01.2012, 00:25

Matzemathiker

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gibt es denn da unterschiede. wie z.b. wenn ich eine geom. reihe habe , muss die riehe nicht gegen o konvergieren ?

bei welchen Reihen muss ich konkret darauf achten, dass dessen Folge eine Nullfolge ist?

ich bin ein wenig verwirrt, was das mit den reihen und konvergenz auf sich hat.

30.01.2012, 00:37

Mulder

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Zitat:

Original von Matzemathiker
bei welchen Reihen muss ich konkret darauf achten, dass dessen Folge eine Nullfolge ist?

Bei allen! Du stellst Fragen, die schon längst beantwortet wurden. Wenn bei einer Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum a_n \end{eqnarray*}$

die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nicht gegen 0 geht, kann die Reihe nicht konvergieren. Wenn $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ aber eine Nullfolge ist, kann diese Reihe konvergieren, sie muss es aber nicht. Dann sind halt weitere Untersuchungen notwendig.

30.01.2012, 00:45

Matzemathiker

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ja das habe ich ja verstanden und bin deswegen darauf wieder gestoßen, weil es anscheinend REIHEN gibt, die wie

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^\infty \left(\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \right) \end{eqnarray*}$

gegen 1 KONVERGIEREN

dann frag ich doch mit recht, was nun korrekt ist.

dann sag mir bitte , warum das so nun ist. nehmen wir konkret diese genannte reihe

30.01.2012, 01:04

Mulder

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Hat denn hier jemals jemand gesagt, dass Reihen nie gegen 1 konvergieren? verwirrt

verwirrt

Deine vorliegende Reihe ist eine Teleskopreihe.

30.01.2012, 01:09

Matzemathiker

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Zitat:

Original von Mulder
Hat denn hier jemals jemand gesagt, dass Reihen nie gegen 1 konvergieren? verwirrt

verwirrt

Deine vorliegende Reihe ist eine Teleskopreihe.

sag mal wollt ihr mich nur fertig machen böse

böse

Nr. 1)

Zitat:

Original von Kos
Sorry, das war jetzt absolut dämlich ausgedrückt, wie ich gerade sehe.

Also nochmal:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k-1}{2k+1} \end{eqnarray*}$

divergiert, denn die dazugehörige Folge geht gegen 1/2 und ist somit keine Nullfolge.

Nr. 2)

Zitat:

Original von Mulder
Die Folge konvergiert gegen 1.

Wenn ich sage, dass die Folge gegen 0 gehen muss, rede ich nur davon, dass bei Reihen

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} a_n \end{eqnarray*}$

die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergieren muss, damit die Reihe überhaupt konvergieren kann.

Wir reden hier doch von Reihen, nicht von Folgen. Wobei letztlich natürlich Reihen auch (spezielle) Folgen sind, nämlich Folgen von Partialsummen.

30.01.2012, 01:15

Mulder

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Zitat:

Original von Matzemathiker
sag mal wollt ihr mich nur fertig machen

Nein, eigentlich nicht. Da weiß ich mit meiner Freizeit wohl besseres anzufangen. Und alle anderen hier wahrscheinlich auch.

Das Problem ist, dass die beiden Reihen

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k-1}{2k+1} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^\infty \left(\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \right) \end{eqnarray*}$

absolut gar nichts miteinander zu tun haben.

Und meine Aussage, dass bei einer Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} a_n \end{eqnarray*}$

die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergieren muss, gilt auch weiterhin und ist völlig richtig.

Ich weiß weiterhin nicht genau, wo das Problem ist. Aber deine eigenen Unzulänglichkeiten und Ungenauigkeiten den Helfern hier in die Schuhe zu schieben ist nicht die feine Art und hilft dir auch nicht weiter.

Deine beiden Zitate decken sich inhaltlich auch zu 100%. Alles richtig, was da geschrieben wurde.

30.01.2012, 11:41

Matzemathiker

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Euch irgendwas in die Schuhe zu schieben war nicht meine Absicht. Wenn das so interpretiert wurde, muss ich mich entschuldigen. das Problem ist einfach nur, dass ich nicht folgern kann, ob nun nur bei bestimmten Reihen die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergieren muss.

Nur noch mal konkret : Gibt es verschidene Reihen mit verschiedenen Konvergenzkriterien

30.01.2012, 12:17

Mulder

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Aber genau das wurde auf Seite 1 doch schon gesagt.

Zitat:

Original von Mulder
Wenn bei einer Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum a_n \end{eqnarray*}$

die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nicht gegen 0 geht, kann die Reihe nicht konvergieren. Wenn $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ aber eine Nullfolge ist, kann diese Reihe konvergieren, sie muss es aber nicht. Dann sind halt weitere Untersuchungen notwendig.

Völlig egal, wie deine unendliche Reihe aussieht: Schau erst mal, ob die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ überhaupt eine Nullfolge ist. Wenn das nicht der Fall ist, kann die Reihe auch nicht konvergieren, dann hat sich die Sache schon erledigt.

Ein Beispiel dafür war diese Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k-1}{2k+1} \end{eqnarray*}$

Die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist in diesem Fall der Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{k-1}{2k+1} \end{eqnarray*}$ . Der konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ . Also KANN die Reihe nicht konvergieren. Dafür brauchst du dann auch keine weiteren Konvergenzkriterien.

WENN $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ allerdings eine Nullfolge ist, dann muss man weiter sehen. Dafür gibt es dann die zahlreichen Konvergenzkriterien. Man muss dann immer schauen, mit welchen Kriterium man bei der vorliegenden Reihe etwas anfangen kann. Bei der ersten Reihe auf Seite 1 haben wir das Leibnizkriterium genommen.

Zitat:

Nur noch mal konkret : Gibt es verschidene Reihen mit verschiedenen Konvergenzkriterien

Es gibt unendlich viele verschiedene Reihen. Und auch einen Haufen Konvergenzkriterien. Die werdet ihr ja auch in eurem Skript stehen haben. Ich kann mir schon denken, dass du gerne eine Liste aller Reihen, die es so gibt, haben möchtest und daneben hübsch aufgelistet, mit welchen Kriterien man die bearbeiten kann. Aber das ist schlicht nicht möglich. Es ist wie bei so vielem: Übung macht den Meister.

30.01.2012, 12:29

Matzemathiker

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JETZT hab ich's kapiert !"!"!

SORRY ich beiss mich da in einer Frage rein, wenn ich die Antwort nicht vestehe , dann ist bei mir sense.

das notwendige Kriterium ist auf jeden fall dafür da, dass wenn eine folge ungleich null ist, die reihe NICHT konvergiert. alles andere ist jetzt verständlich.

DANKE

30.01.2012, 14:16

klarsoweit

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Zitat:

Original von Matzemathiker
das notwendige Kriterium ist auf jeden fall dafür da, dass wenn eine folge ungleich null ist, die reihe NICHT konvergiert.

Das ist auch wieder unsauber formuliert.

Bei $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ ist die Folge der Summanden immer ungleich Null, trotzdem konvergiert die Reihe. smile

smile

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