Parameterdarstellung einer Kurve -- Schnittpunkte mit den Achsen

27.01.2012, 12:19

AnnaBauing

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Parameterdarstellung einer Kurve -- Schnittpunkte mit den Achsen

Meine Frage:
Sitze gerade an meinem HM Übungsblatt und stehe etwas auf dem Schlauch:

Die Kurve K ist gegeben durch

$\begin{eqnarray*} x(t)= \frac{1}{1+t^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(t)=- \frac{1}{1+t^2} \end{eqnarray*}$

, $\begin{eqnarray*} t\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

a) Berechnen Sie die Schnittpunkte von K mit den Achsen

Meine Ideen:
Also ich weiß, dass man für die Schnittpunkte mit der x- Achse y=0 setzt (und umgekehrt mit der y-Achse), aber ich komm da nicht so ganz auf die Nullstellen.

Danke schon mal, für die Hilfe smile

smile

27.01.2012, 12:40

Ynnad Godspeed

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Hello !!!

Setz doch einfach mal große Werte für (t) ein und überlege Dir, wann oder ob Deine Funktionsvorschriften überhaupt den Wert Null erreichen können. Ein fähiger Taschenrechner sollte Dir da auch schon Auskunft geben. Visualisieren hilft mir jedesmal ungemein.

Soll heißen, ich denke, dass es bei dieser Aufgabe primär um die Schnittpunkte mit der Y-Achse geht.

Die Du berechnest, indem Du sämtliche x-Werte auf 0 setzt...bei Dir ist x halt t.
Ich finde die Aufgabe ist auch verwirrender gestellt, als sie eigentlich ist, oder ich interpretier sie halt auch falsch Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.01.2012, 13:11

Dopap

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RE: Parameterdarstellung einer Kurve -- Schnittpunkte mit den Achsen

Zitat:

Original von AnnaBauing

$\begin{eqnarray*} x(t)= \frac{1}{1+t^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(t)=- \frac{1}{1+t^2} \end{eqnarray*}$

1.)sich einfach mal überlegen, wie der Graph aussieht...
2.)

was ist $\begin{eqnarray*} \lim_{t\to\infty}x(t) \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \lim_{t\to\infty}y(t) \end{eqnarray*}$ ?

27.01.2012, 14:52

AnnaBauing

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Vielen Dank schon mal, aber ich weiß irgendwie nicht so ganz was mir das bringt.. Ich kann mir das mit den Kurven auch irgendwie nicht so ganz vorstellen, wie das aussieht verwirrt

verwirrt

27.01.2012, 15:09

Dopap

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wenn du $\begin{eqnarray*} \frac 1 {1+t^2}= u \end{eqnarray*}$ substituierst :

$\begin{eqnarray*} x(u)=u, y(u)=-u \quad \Rightarrow y=-x \qquad 0<x\leq 1 \end{eqnarray*}$

das ist die Strecke von (0,0) nach (1,-1)

27.01.2012, 15:30

AnnaBauing

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Ok, das hilft mir schon sehr Freude

Freude

smile

allerdings versteh ich nicht so ganz wie du auf das 0<x<1 kommst verwirrt

verwirrt

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27.01.2012, 15:37

Dopap

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was ist der Bildbereich von $\begin{eqnarray*} u = \frac 1 {1+t^2} \quad t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

und dann gilt ja noch $\begin{eqnarray*} x=u \end{eqnarray*}$

27.01.2012, 15:46

AnnaBauing

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oh mann, wenn ich mit dem Bildbereich nicht auch so Probleme hätte wäre ja alles ok .. Sorry, dass ich mich hier so blöd anstelle, aber ich hab so meine Probleme mit den Kurven Erstaunt2

Erstaunt2

27.01.2012, 15:57

Dopap

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der Bildbereich von $\begin{eqnarray*} u = \frac 1 {1+t^2} \quad t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

ist doch $\begin{eqnarray*} (0;1] \end{eqnarray*}$

und damit auch der Bereich für x

27.01.2012, 16:02

AnnaBauing

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aber wie bestimme ich den Bildbereich von u?

27.01.2012, 16:06

Dopap

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den braucht man nicht zu bestimmen, den kann man "sehen"

27.01.2012, 16:08

AnnaBauing

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Wollte es ohne Taschenrechner machen, weil wir den auch nicht in der Klausur benutzen dürfen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber vielen Dank Freude

Freude

ich rechne jetzt mal mit den Infos die ich bekommen habe smile

smile

27.01.2012, 18:57

Dopap

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dazu braucht man doch keinen Taschenrechner:

wegen $\begin{eqnarray*} t^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$ variert der Nenner $\begin{eqnarray*} 1+t^2 \end{eqnarray*}$ zwischen 1 und unendlich.

Der Kehrwert dann zwischen 1 und Null. So einfach ist das. smile

smile

27.01.2012, 21:49

Ynnad Godspeed

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mhhh...so wie ich das sehe, solltest Du Dir nochmal grundsätzlich klarmachen, wie so eine Funktion funktioniert und was sie tut.

Der Bildbereich sind doch alle Zahlen die durch einsetzen in die Funktionsvorschrift rauskommen können. Also alle Zahlen auf die Du abbildest. Setze für t reele Zahlen ein und schaue, was da so rauskommt. Dann siehst Du auch schnell, was Dopap mit dem Intervall erklärt hat (0;1]

27.01.2012, 22:24

AnnaBauing

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Hab mir diese Definition 1000 mal versucht selbst zu erklären und jetzt machts klick Gott

Gott

Vielen Dank Tanzen

Tanzen

28.01.2012, 11:29

Pedda

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Wenn ich das richtig sehe, gibt es bei dieser Kurve gar keine Schnittpunkte mit den Achsen. Die Kurve nähert sich der x und der y Achse lediglich an, da 1/unendlich nie ganz 0 wird.

28.01.2012, 13:39

Dopap

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und genau darauf sollte der Fragesteller von selbst kommen.

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