Anfangswertproblem-Verständnisfrage

27.01.2012, 12:27

Anduin91

Anfangswertproblem-Verständnisfrage

Ich bereite mich gerade auf eine Mathematikklausur einer Fachhochschule vor, habe allerdings relativ schlechte Vorkenntnisse in Mathe.
Aktuell hänge ich an folgender Aufgabenstellung bei der mir selbst die Aufgabenstellung leichte Schwierigkeiten bereitet:

$\begin{eqnarray*} y'-2xy = 2x^{2}-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(0) = 1 \end{eqnarray*}$

Die Aufgabenstellung verlangt eine Näherungslösung durch ein Taylorpolynom 4th Grades

Auf den ersten Blick eine Differentialgleichung die ich (zugegeben bei einer integration mit doppelter Potenz mit hilfe des internets) gelöst habe

$\begin{eqnarray*} y=-x \end{eqnarray*}$

Normalerweise hätte ich jetzt mit der Lösung für y eine Funktion bekommen die ich solange durch eine Taylor Tabelle jagen müsste bis ich den 4th Grad erreiche...ich denke es ist ersichtlich das ich bei meiner Lösung damit nicht ganz hinkomme.

Sieht jemand meinen Denkfehler/falschen Ansatz und kann mir die richtige Richtung winken?

Edit: Übrigens ist mir bewusst das y0=1 aus der Aufgabenstellung bei meiner Lösung nicht erfüllt ist.

27.01.2012, 13:12

gonnabphd

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Hi,

Du hast eine patikuläre Lösung $\begin{eqnarray*} y_p(x) = -x \end{eqnarray*}$ berechnet. Wenn du die allgemeine Lösung bekommen willst, dann musst du nun auch noch die homogene Differentialgleichung lösen:

$\begin{eqnarray*} y' - 2xy = 0 \end{eqnarray*}$

(Die allgemeine homogene Lösung wäre hier $\begin{eqnarray*} y_h(x) = Ce^{x^2} \end{eqnarray*}$ )

Damit hättest du dann als Lösung deines Awp's $\begin{eqnarray*} y(x) = e^{x^2} - x \end{eqnarray*}$ (wobei der Wert der Konstante C aus der Anfangsbedingung folgt.)

Allerdings sollst du das ja gar nicht machen, sondern

Zitat:

Die Aufgabenstellung verlangt eine Näherungslösung durch ein Taylorpolynom 4th Grades

Was du allerdings machen solltest:

Das Taylorpolynom vierten Grades berechnet sich (nach Definition) als

$\begin{eqnarray*} y(x) \approx y(0) + y'(0)x +\frac{y''(0)}{2!} x^2 + \ldots + \frac{y^{(4)}(0)}{4!}x^4 \end{eqnarray*}$

Aus der Differentialgleichung und der Anfangswertebedingung bekommst du $\begin{eqnarray*} y(0) = 1 \end{eqnarray*}$ . Dann bekommst du $\begin{eqnarray*} y'(0) = \ldots \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} y'(x) = 2xy(x) + 2x^2 - 1 \end{eqnarray*}$ , indem du das nochmal ableitest, bekommst du $\begin{eqnarray*} y''(0) = \ldots \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} y''(x) = \frac{d}{dx} (2xy(x) + 2x^2 - 1) \end{eqnarray*}$ etc. So kannst du die Näherung berechnen.

smile

27.01.2012, 13:43

Anduin91

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Zitat:

Original von gonnabphd

Aus der Differentialgleichung und der Anfangswertebedingung bekommst du $\begin{eqnarray*} y(0) = 1 \end{eqnarray*}$ . Dann bekommst du $\begin{eqnarray*} y'(0) = \ldots \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} y'(x) = 2xy(x) + 2x^2 - 1 \end{eqnarray*}$ smile

Verständnisfrage: Wie soll es möglich sein aus der ersten Ableitung meiner funktion, selbige für x=0 zu bestimmen wenn die eigendliche Funktion y(x) als Variable in meiner Ableitung enthalten ist?

Edit: Ich bin jetzt davon ausgegangen das die vorrangegangene Differentialrechung kein Teil des eigendlichen Lösungsweges ist.

2.Edit: Nach nochmaligem durchlesen und ersten rechenversuchen ist mir aufgefallen das y(x) durch multiplizieren mit 0 wegfällt, Frage erledigt

27.01.2012, 13:52

gonnabphd

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Zitat:

Edit: Ich bin jetzt davon ausgegangen das die vorrangegangene Differentialrechung kein Teil des eigendlichen Lösungsweges ist.

Die brauchst du auch nicht.

Zitat:

2.Edit: Nach nochmaligem durchlesen und ersten rechenversuchen ist mir aufgefallen das y(x) durch multiplizieren mit 0 wegfällt, Frage erledigt

Ich denke du hast die 'pointe' dennoch nicht ganz verstanden. Du kennst vielleicht nicht y(x) für beliebiges x, aber du kennst y(0). Und mit der Differentialgleichung lässt sich daraus y'(0) berechnen.

Nachdem du die Differentialgleichung nach x ableitest und nach y''(x) umstellst, bekommst du y''(x) = [irgendwas mit x, y(x), y'(x)], und deshalb dann y''(0) = [irgendwas mit 0, y(0), y'(0)]. Doch nun kennst du von vorher ja y(0) und y'(0). Damit kannst du dann also auch y''(0) berechnen. Und wenn du y(0), y'(0), y''(0) kennst, kannst du wiederum y'''(0) berechnen etc. (bis zu beliebiegen Ordnungen). All das folgt alleine aus der Differentialgleichung wie oben beschrieben.

27.01.2012, 13:55

Anduin91

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Ich denke ich habs jetzt, danke für die Hilfe

Edit: Übrigens wens interessiert, raus kommt (zumindest bei mir):
$\begin{eqnarray*} <br /> T_{n}: 1+x+x^{2}+\frac{1}{2} x^{3} \end{eqnarray*}$

27.01.2012, 14:49

gonnabphd

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Hi,

Das ist leider nicht korrekt. Schon y'(0) ist bei dir falsch. Es ist

$\begin{eqnarray*} y'(0) = 2\cdot 0 \cdot y(0) + 2 \cdot 0^2 - 1 = -1 \end{eqnarray*}$

Der nächste Koeffizient ist korrekt. Aber derjenige für $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ müsste eigentlich =0 sein. Der für $\begin{eqnarray*} x^4 \end{eqnarray*}$ wäre dann wiederum $\begin{eqnarray*} 1/2 \end{eqnarray*}$ . Damit solltest du eigentlich

$\begin{eqnarray*} <br /> T_{4}: 1-x+x^{2}+\frac{1}{2} x^{4} \end{eqnarray*}$

rausbekommen.

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