Integralrechnung Substitution

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27.01.2012, 16:14

marco_k91

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Integralrechnung Substitution

Hallo alle smile

Hab ein kleines Problem mit einer Uni-Aufgabe und wollte mal fragen, ob mir jemand weiterhelfen könnte. Big Laugh

Berechne das bestimmte Integral mittels Substituion:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{\pi}~{x*\sin x ~{\mathrm{d}x}} \end{eqnarray*}$

Mit der partiellen Integration ist die Aufgabe ja kein Problem, leider ist uns allerdings vorgeschrieben hier irgendwie zu substituieren...

Mit der partiellen Integration komm ich auf:

F(x)=sin(x)-x*cos(x)+C

und weiß somit auch, auf welche Lösung ich über die Substitution kommen müsste. Aber egal, was ich substituiere, es kommen leider immer vollkommen andere Ergebnisse raus..

Ich hoffe ihr könnt mir helfen! smile

MfG
Marco

28.01.2012, 10:37

juffo-wup

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Substituiere mit $\begin{eqnarray*} t=\pi-x \end{eqnarray*}$ und beachte $\begin{eqnarray*} \sin(\pi-t)=\sin(t) \end{eqnarray*}$

28.01.2012, 14:10

marco_k91

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Zitat:

Original von juffo-wup
Substituiere mit $\begin{eqnarray*} t=\pi-x \end{eqnarray*}$ und beachte $\begin{eqnarray*} \sin(\pi-t)=\sin(t) \end{eqnarray*}$

Erstmal danke für die Antwort smile

Gut, dann kann ich für $\begin{eqnarray*} \sin(\pi-t)=\sin(t) \end{eqnarray*}$ schreiben.

Aber was passiert mit dem x vor dem Sinus? Muss ich hier nicht ebenfalls für $\begin{eqnarray*} x=\pi-t \end{eqnarray*}$ einsetzen?
Dann würde also nach der Substitution dastehen:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\pi}^{0}~{(\pi-t)*\sin (\pi-t) ~{\mathrm{d}t}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int\limits_{-\pi}^{0}~{(\pi-t)*\sin (t) ~{\mathrm{d}t}} \end{eqnarray*}$

Irgendwie bringt doch die Substitution dann gar nichts, da sich nichts wegkürzt und das Produkt somit erhalten bleibt. unglücklich

28.01.2012, 15:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von juffo-wup
Substituiere mit $\begin{eqnarray*} t=\pi-x \end{eqnarray*}$ und beachte $\begin{eqnarray*} \sin(\pi-t)=\sin(t) \end{eqnarray*}$

Ich würde eher $\begin{eqnarray*} x =t + \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ nehmen. Augenzwinkern

28.01.2012, 21:08

marco_k91

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Ok, jetzt substituiere ich also mit

$\begin{eqnarray*} x=t+\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

setze ich das ein, kann ich das ganze auch folgendermaßen schreiben:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}~{(t+\frac{\pi}{2})*\sin (t+\frac{\pi}{2}) ~{\mathrm{d}t}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =>\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}~{(t+\frac{\pi}{2})*\cos (t) ~{\mathrm{d}t}} \end{eqnarray*}$

Ich verstehe aber immernoch nich, was mir das für einen Vorteil verschafft unglücklich

Es ging ja bei unserer Aufgabe darum, das bestimmte Integral für f(x) einmal mittels partieller Integration und einmal mittels Substitution zu berechnen.
Also gehe ich mal davon aus, dass nach der Substitution der Faktor irgendwie wegfallen müsste, da man sonst auch nach dieser Substitution partiell integrieren müsste..

Anscheinend kenne oder verstehe ich hier irgendeinen grundlegenden Zusammenhang nich..

28.01.2012, 21:21

juffo-wup

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Zitat:

Original von marco_k91
Gut, dann kann ich für $\begin{eqnarray*} \sin(\pi-t)=\sin(t) \end{eqnarray*}$ schreiben.
Aber was passiert mit dem x vor dem Sinus? Muss ich hier nicht ebenfalls für $\begin{eqnarray*} x=\pi-t \end{eqnarray*}$ einsetzen?

Natürlich.

Zitat:

Dann würde also nach der Substitution dastehen:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\pi}^{0}~(\pi-t)*\sin (\pi-t) ~dt \end{eqnarray*}$

Du hast die Grenzen nicht richtig substituiert. Richtig wäre
$\begin{eqnarray*} \int_{\pi}^0 (-1)(\pi-t)\sin(t)~dt=\int_{0}^{\pi} (\pi-t)\sin(t)~dt \end{eqnarray*}$
Das (-1) kommt von der Ableitung von t nach x und verschwindet wieder, wenn man die Integrationsgrenzen umdreht.

Nun hast du also
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi} t\sin(t)~dt= \int_{0}^{\pi} (\pi-t)\sin(t)~dt \end{eqnarray*}$
Um dein ursprüngliches Integral zu berechnen, musst du also nur noch das Integral über $\begin{eqnarray*} \pi\sin(t) \end{eqnarray*}$ berechnen (oder wissen) und durch 2 teilen.

Zitat:

Original von klarsoweit
Ich würde eher $\begin{eqnarray*} x =t + \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ nehmen. Augenzwinkern

Darf man fragen warum?

28.01.2012, 21:48

marco_k91

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Zitat:

Original von juffo-wup

Nun hast du also
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi} t\sin(t)~dt= \int_{0}^{\pi} (\pi-t)\sin(t)~dt \end{eqnarray*}$
Um dein ursprüngliches Integral zu berechnen, musst du also nur noch das Integral über $\begin{eqnarray*} \pi\sin(t) \end{eqnarray*}$ berechnen (oder wissen) und durch 2 teilen.

Der Schritt is mir irgendwie nicht ganz klar, wäre nett wenn du mir das erklären könntest. unglücklich

Also einmal warum das hier gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi} t\sin(t)~dt= \int_{0}^{\pi} (\pi-t)\sin(t)~dt \end{eqnarray*}$

Warum ich dann das Integral hier von berechnen muss:
$\begin{eqnarray*} \pi\sin(t) \end{eqnarray*}$

und nicht hier von:

$\begin{eqnarray*} t\sin(t) \end{eqnarray*}$

Und warum dann am Ende durch zwei geteilt werden muss...

Tut mir leid, anscheinend hab ich gerad n Blackout..

Danke schonmal für deine bisherigen Antworten smile

28.01.2012, 22:02

juffo-wup

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Zitat:

Original von marco_k91
Der Schritt is mir irgendwie nicht ganz klar, wäre nett wenn du mir das erklären könntest. unglücklich

Also einmal warum das hier gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi} t\sin(t)~dt= \int_{0}^{\pi} (\pi-t)\sin(t)~dt \end{eqnarray*}$

Das linke ist doch das ursprüngliche Integral und das rechte das Integral nach der Substitution.

Das rechte ist gleich (Linearität des Integrals) $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi} \pi\sin(t)-\int_{0}^{\pi} t\sin(t)~dt \end{eqnarray*}$
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi} t\sin(t)~dt \end{eqnarray*}$

28.01.2012, 22:05

marco_k91

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Achsoo jetzt hab ichs verstanden!
Danke für die Hilfe!! smile

29.01.2012, 15:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von marco_k91
$\begin{eqnarray*} =>\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}~{(t+\frac{\pi}{2})*\cos (t) ~{\mathrm{d}t}} \end{eqnarray*}$

Ich verstehe aber immernoch nich, was mir das für einen Vorteil verschafft unglücklich

Ziehe nun auseinander:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}~(t+\frac{\pi}{2}) \cdot \cos (t) ~dt = \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}~t \cdot \cos (t) ~dt + \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}~\frac{\pi}{2} \cdot \cos (t) ~dt \end{eqnarray*}$

Das 1. Integral ist Null, da der Integrand ungerade ist und das Integrationsintervall symmetrisch zum Ursprung liegt. Es geht natürlich auch der Weg von juffo-wup.

29.01.2012, 20:45

juffo-wup

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Ah, natürlich. Das ist auch schön. smile

30.01.2012, 00:56

marco_k91

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Ah, ok das is auch nich schlecht, danke dir auch smile

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