n-te Einheitzwurzeln und Ausschluss von Körpern mit bestimmten Charakteristiken

27.01.2012, 18:13

mathinitus

n-te Einheitzwurzeln und Ausschluss von Körpern mit bestimmten Charakteristiken

Alle Theoreme, die ich so über n-te Einheitzwurzeln kenne, schließen aus, dass die Charakteristik des Körpers, um den es geht, ein Teiler von n ist.
Auf den ersten Blick scheint das auch gut begründet, denn das Polynom $\begin{eqnarray*} X^n-1 \end{eqnarray*}$ , das ja alle n-te Einheitzwurzeln als Nullstelle hat, hat die formale Ableitung 0, wenn die Charakteristik des Körpers Teiler von n ist. Damit könnte es passieren, dass das Polynom nicht mehr separabel ist und folglich die entsprechende Erweiterung keine Galois-Erweiterung ist.

Nun habe ich mir mal weiter Gedanken gemacht und folgendes festgestellt:

Im algebraischen Abschluss von $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_p \end{eqnarray*}$ zerfällt ja jedes Polynom in Linearfaktoren. Also auch $\begin{eqnarray*} X^n-1 \end{eqnarray*}$ . Betrachten wir den Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray*} X^n-1 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_p \end{eqnarray*}$ . Dann ist die entsprechende Erweiterung ja endlich, also maximal vom Grad n!. Das bedeutet, auch der Zerfällungskörper ist endlich. Ist L endlicher Körper, so ist die Erweiterung L/K separabel. Also auch die Erweiterung von eben.

Also ist doch alles prima. Es gibt also tatsächlich n verschiedene n-te Einheitswurzeln und zwar im algebraischen Abschluss von jedem Körper, denn wenn K Körper mit Charakteristik p ist, dann ist $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb{F}_p} \end{eqnarray*}$ ja isomorph zu einem Teilkörper von $\begin{eqnarray*} \overline{K} \end{eqnarray*}$ .

Wo ist mein Denkfehler?

27.01.2012, 18:43

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Zitat:

Also ist doch alles prima.

bis hierhin, ja. Doch nun:

Zitat:

Es gibt also tatsächlich n verschiedene n-te Einheitswurzeln und zwar im algebraischen Abschluss von jedem Körper

machst du einen Denkfehler. Falls $\begin{eqnarray*} p\mid n \end{eqnarray*}$ , dann schreibe $\begin{eqnarray*} n = p^r m \end{eqnarray*}$ mit r>0 maximal. Es ist dann

$\begin{eqnarray*} X^n - 1 =\left( X^m\right)^{p^r} - 1 = \left( X^m - 1\right)^{p^r} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} X^m - 1 \end{eqnarray*}$ separabel. Also bekommst du so nur m Einheitswurzeln!

Das Problem ist, dass der Zerfällungskörper zwar separabel ist, aber dennoch ist das Polynom $\begin{eqnarray*} X^n-1 \end{eqnarray*}$ nicht separabel.

Damit kommst du schlussendlich dann doch wieder zu dem Fall, wo $\begin{eqnarray*} p \nmid m \end{eqnarray*}$ .

Grüsse Wink

27.01.2012, 19:05

mathinitus

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle und hilfreiche Antwort. Heißt das also, dass $\begin{eqnarray*} X^n-1 \end{eqnarray*}$ genau m Nullstellen im algebraischen Abschluss hat (egal was für ein Köper zugrunde liegt, sofern dieser Charakteristik p hat), wobei $\begin{eqnarray*} n = p^r m \end{eqnarray*}$ mit r>0 maximal?

27.01.2012, 19:19

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau.

Da du mit "Algebra" von Bosch arbeitest (falls ich mich richtig erinnere), vergleiche auch Kapitel 3.6, Satz 2.

Grüsse Wink

27.01.2012, 21:28

mathinitus

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau. Daran habe ich dann auch gedacht und auch die ersten Zeile von 3.7 unterstreichen deinen Gedankengang.

Vielen Dank nochmal!

Neue Frage »

Antworten »

n-te Einheitzwurzeln und Ausschluss von Körpern mit bestimmten Charakteristiken

Verwandte Themen