Pushforward von Vektorfeld

27.01.2012, 19:23

Merlinius

Pushforward von Vektorfeld

Ich brauche leider noch einmal Hilfe. Es geht um die Aufgabe iii) aus dem angehängten Bild, aber nicht um die gesamte Lösung, sondern nur um die Stelle, die ich rot umrandet habe.

Und zwar wird dort per Diffeomorphismus $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ein Pushforward eines Vektorfeldes durchgeführt, einmal von $\begin{eqnarray*} \tilde{X} \end{eqnarray*}$ und einmal von $\begin{eqnarray*} \tilde{Y} \end{eqnarray*}$ (sorry, die Tilde beim Y hab ich unten weitgehend übermalt).

Anscheinend wird folgendermaßen gerechnet:

$\begin{eqnarray*} \phi_{*x}(\tilde{Y_x}) = \phi (\tilde{Y}_x) = \phi(x_2, -x_1) = \phi(ax_2, -bx_1) \end{eqnarray*}$

und beim X~ analog.

Nun haben wir mal wieder den Pushforward/das Differential/die induzierte Abbildung - wie man es auch nennen mag - über Derivationen definiert und zwar folgendermaßen:

Zu einer differenzierbaren Abbildung $\begin{eqnarray*} f: M \rightarrow N \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} f_{*p} : T_p M \rightarrow T_{f(p)} N, v \mapsto f_{*p}v = (\varphi \mapsto v(\varphi \circ f)) \end{eqnarray*}$

D.h. zumindest ist die Reihenfolge von f und v hier so herum, dass zunächst das f und dann das v ausgeführt wird, und nun kann ich nicht ganz den Sprung zu obiger Rechnung machen, in der die Vektoren $\begin{eqnarray*} \tilde{Y}_x \end{eqnarray*}$ zwar nicht direkt als Derivationen betrachtet werden, aber im Grunde genommen die Reihenfolge definitiv andersherum ist.

28.01.2012, 18:50

gonnabphd

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Hi,

Zitat:

Zu einer differenzierbaren Abbildung $\begin{eqnarray*} f: M \rightarrow N \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} f_{*p} : T_p M \rightarrow T_{f(p)} N, v \mapsto f_{*p}v = (\varphi \mapsto v(\varphi \circ f)) \end{eqnarray*}$

Die Frage ist also im Prinzip (?): "Wie komme ich von der Derivationen-Definition zu einer Version, mit der ich auch tatsächlich was ausrechnen kann?"

Sei also $\begin{eqnarray*} X = (X_1, \ldots, X_n) \end{eqnarray*}$ ein Vektor (in lokalen Koordinaten bzw. für $\begin{eqnarray*} M = \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ).

Dann ist

$\begin{eqnarray*} (f_{\ast p} X)\varphi = X_p(\varphi \circ f) = d(\varphi \circ f)(p) X = d\varphi(f(p)) df(p) X = (df(p)X)_{f(p)} \varphi \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} df(p) \end{eqnarray*}$ die Jacobi-Matrix von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in Koordinaten sei. Also ist der Pushforward eines Vektors in Koordinaten schlussendlich ganz einfach gegeben durch $\begin{eqnarray*} df(p)X \end{eqnarray*}$ , also das Bild des Vektors unter der Jacobi-Matrix.

Für dein Beispiel ist z.B.

$\begin{eqnarray*} d\Phi = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Womit dann alles rot markierte folgt. (Man schreibt übrigens auch häufig $\begin{eqnarray*} df \end{eqnarray*}$ für den pushforward $\begin{eqnarray*} f_\ast \end{eqnarray*}$ )

29.01.2012, 13:39

Merlinius

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Super, erneut vielen Dank für Deine Antwort! Da hatte ich die Rechnung oben wohl komplett falsch interpretiert.

Jetzt ist es mir klar smile

29.01.2012, 13:53

gonnabphd

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Alrighty.

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