lineare Abbildung, Streckung um den Faktor 2

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27.01.2012, 19:55	barracuda317	Auf diesen Beitrag antworten »
lineare Abbildung, Streckung um den Faktor 2 Wählen Sie eine geeignete Basis $\begin{eqnarray} B_2 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \phi_2 \end{eqnarray}$ und geben Sie die Bilder der Basisvektoren an: $\begin{eqnarray} \phi_2 \end{eqnarray}$ Streckung um den Faktor 2 $\begin{eqnarray} \phi_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \to\mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ ich habe mir überlegt, das dies einfach: $\begin{eqnarray} (x_1, x_2,x_3)^T \to 2(x_1, x_2,x_3)^T( \end{eqnarray}$ ist. dies erscheint mit aber zu einfach. Als Basis würde ich die Standardbasis wählen
27.01.2012, 20:25	little-monster	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, $\begin{eqnarray} \phi_2 \end{eqnarray}$ ist eine Abbildung und kann somit keine Basis haben. Nur Vektorräume haben eine Basis. Bitte daher vollständige und korrekte Aufgabenstellung posten! Das, was du angegeben hast, ist nur das, was die Streckung $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ mit den Vektoren macht. Das ist letztlich eine Abbildungsvorschrift, aber keine Basis. Die kanonische Basis des $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ -Vektorraums $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ wird von den Vektoren $\begin{eqnarray} (1,0,0)^T , \ (0,1,0)^T, \ (0,0,1)^T \end{eqnarray}$ gebildet. MFG little-monster
27.01.2012, 21:57	carna	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt nicht $\begin{eqnarray} \phi_2 \in Hom(\mathbb R^3,\mathbb R^3 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} Hom(\mathbb R^3,\mathbb R^3 \end{eqnarray}$ ist ein Vektoraum.
27.01.2012, 22:16	little-monster	Auf diesen Beitrag antworten »
Falsch, $\begin{eqnarray} \phi_2 \end{eqnarray}$ ist ein Element eines Vektorraums, aber nicht selbst ein Vektorraum. Daher kann $\begin{eqnarray} \phi_2 \end{eqnarray}$ keine Basis haben. Die Aufgabenstellung ist also so, wie sie im ersten Post steht, völlig unsinnig.
27.01.2012, 22:31	carna	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich wollt's grad noch berichtigen, man kann nur leider nicht editieren wenn man nicht registriert ist. Ich hatte grade im Kopf ob der Fragesteller eine Linearkombination von Vektoren aus $\begin{eqnarray} Hom(\mathbb R^3,\mathbb R^3) \end{eqnarray}$ sucht.
27.01.2012, 22:47	barracuda317	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aufgabe ist eine Teilaufgabe: Gegeben seien die linearen Abbildungen $\begin{eqnarray} \phi: \end{eqnarray}$ Streckung um den Faktor [/latex] Wählen Sie eine geeignete Basis $\begin{eqnarray} B_2 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ und geben Sie die Bilder der Basisvektoren an. ... Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ bzgl. $\begin{eqnarray} B_2 \end{eqnarray}$ . Es ging generell darum ob ich etwas falsch verstanden habe. Die Bilder der Vektoren der Standardbasis wären somit: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \phi(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \phi(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \phi(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ Da sich die Bilder-Basisvektoren durch die Darstellung in der Standardbasis nicht verändern (in den Spalten der Abbildungsmatrix stehen die Bilder der Basisvektoren) können wir die Bilder direkt in die Spalten der Abbildungsmatrix von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} B_2 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} B_2 \end{eqnarray}$ schreiben. Es findet also kein Basiswechsel statt. Die nächste Aufgabe wäre dann eine Verkettung von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ] mit der Spiegelung aus dieser Abbildung Ist das denn bisher okay?
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28.01.2012, 17:09	barracuda317	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich möchte die Aufgabe nochmal zusammenfassen: Es sei $\begin{eqnarray} B_1=\{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\} \end{eqnarray}$ eine Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb{R^3} \end{eqnarray}$ Die Abbildung $\begin{eqnarray} \phi_1: \end{eqnarray}$ Spiegelung an der Ebene $\begin{eqnarray} E:=\{ x \in \mathbb{R}^3: x_1+2x_2-x_3 =0\} \end{eqnarray}$ hat die Folgende Abbildungsmatrix. $\begin{eqnarray} M_{B_1}^{B_1} (\phi_1)= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bilder der Basisvektoren: $\begin{eqnarray} \phi_1(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \phi_1(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \phi_1(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Es sei $\begin{eqnarray} B_2=\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\} \end{eqnarray}$ eine Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb{R^3} \end{eqnarray}$ Die Abbildung $\begin{eqnarray} \phi_2: \end{eqnarray}$ Streckung um den Faktor 2 , hat die Folgende Abbildungsmatrix. $\begin{eqnarray} M_{B_2}^{B_2}(\phi_2) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Gesucht ist nun die Abbildungsmatrix von $\begin{eqnarray} \phi_2 \cdot \phi_1 \end{eqnarray}$ bezüglich der Standardbasis. Also ist folgendes gesucht? $\begin{eqnarray} M_{B_2}^{B_2} (\phi_2 \cdot \phi_1) \end{eqnarray}$ Meine erste Idee war nun $\begin{eqnarray} M_{B_1}^{B_1} (\phi_1) \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} M_{B_2}^{B_2} (\phi_1) \end{eqnarray}$ "umzuformen" und dann einfach die Abbildungsmatrizen miteinander zu multiplizieren. Ist das zielführend?
29.01.2012, 19:05	barracuda317	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, ich kann meine Idee weiterverfolgen und wollte nun folgendermaßen vorgehen. $\begin{eqnarray} M_{B_2}^{B_2}(\Phi_1) = M_{B_1}^{B_2}(id) M_{B_1}^{B_2}(\Phi_1)M_{B_2}^{B_1}(id) \end{eqnarray}$ Leider weiß ich nicht so recht wie ich die Identitätsfunktionen bestimme.
29.01.2012, 19:43	barracuda317	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe gerade mal folgende Matrix erstellt und dabei einfach die Basisvektoren in der Darstellung bezüglich $\begin{eqnarray} B_1 \end{eqnarray}$ mit einem LGS berechnet. Ist das korrekt? $\begin{eqnarray} M_{B_1}^{B_2}(id) =\begin{pmatrix} -1/2 & 1 & 1/2 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1/2 & 0 & 1/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aufgrund der Standardbasis $\begin{eqnarray} B_1 \end{eqnarray}$ müsste die zweite Matrix folgendermaßen aussehen: $\begin{eqnarray} M_{B_2}^{B_1}(id) =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Multipliziert wäre das dann: $\begin{eqnarray} M_{B_2}^{B_2}(\phi_1) = \begin{pmatrix} -1/2 & 1 & 1/2 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1/2 & 0 & 1/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ -2 & -1 & -2 \\ -2 & -2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Wäre supi, wenn da mal jemand drüber gucken könnte. Habe es erstmal rein nach Intuiton berechnet

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