LGS mit Restklassenring eindeutig lösbar?

27.01.2012, 21:28

lösungsfinder

LGS mit Restklassenring eindeutig lösbar?

Meine Frage:
Hallo,

Ich habe folgende Gleichungen gegeben:

$\begin{eqnarray*} x_{1} + x_{2} + 2x_{3} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x_{1} + 2x_{2} + x_{4} = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} + 2x_{4} = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1} + x_{3} + 2x_{4} = 1 \end{eqnarray*}$

Und der Körper ist K = Z5

Jetzt habe ich diese Gleichungen mit dem Gauß Verfahren zu diesem Ergebnis umgeformt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 | 2 \\ 0 & 1 & 1 & 3 | 3 \\ 0 & 0 & 4 & 4 | 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 | 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und da jetzt dort die letzte Zeile 0 =! 4 gibt es keine Lösung für die Gleichungen!

Doch Wie muss ich die Determinante bei den Restklassen berechnen?

Da Ja die det(A) = 15 ohne Berücksichtigung der Restklassen bedeuten würde, dass es eine Lösung gibt!

Meine Ideen:
Ich habe zuerst gedacht, dass ich einfach die Determinante modulo 5 rechnen muss dabei kommt 0 heraus und ich habe det(A) = 0 und damit gibt es keine Lösung, doch ich habe dazu ein Gegenbeispiel gefunden. Nämlich die gleichen Gleichungen im Z3.

Kann mir einer sagen, wie ich das vorher mit der Determinante feststellen kann im Zusammenhang mit der Restklasse?

Gruß lösungsfinder

27.01.2012, 21:42

lgrizu

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RE: LGS mit Restklassenring eindeutig lösbar?
$\begin{eqnarray*} \det A=15 \equiv 0 \mod 5 \end{eqnarray*}$

27.01.2012, 21:51

lösungsfinder

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Hmm, danke erst mal das hab ich auch erst gedacht. Aber wenn isch das mit dem Restklassenring 3Z mache erhalte ich am ende das LGS:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 | 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 | 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 | 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 | 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dort währe ja jetzt demnach:

15 = 0 mod 3

Aber ich habe ja eine Lösung gefunden!!! verwirrt

Deswegen verstehe ich das ja nicht!

27.01.2012, 22:04

lgrizu

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Wie kommst du denn auf die Matrix?

Ich habe da:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&1&2&0&|0\\2&2&0&1&|2\\1&2&2&2&|1\\1&0&1&2&|1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun erste und zweite Zeile addieren, das 2-fache der ersten zu der dritten addieren und das 2-fache der ersten zu der vierten addieren führt auf:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&1&2&0&|0\\0&0&2&1&|2\\0&1&0&2&|1\\0&2&2&2&|1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun addieren wir de dritte zur vierten Zeile und erhalten:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&1&2&0&|0\\0&0&2&1&|2\\0&1&0&2&|1\\0&0&2&1&|2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und zum Schluss wird das 2-fache der zweiten Zeile zur vierten addiert:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&1&2&0&|0\\0&0&2&1&|2\\0&1&0&2&|1\\0&0&0&0&|0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

27.01.2012, 22:11

lösungsfinder

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Ah, ok du hast recht. und amit gilt auch det(A) = 15 mod 3 = 0 Was bedeutet es gibt unendlich viele lösungen!!! Tztztz da rechne ich das schon drei mal und immer an der selben stelle den Fehler gemacht.

Super Dank dir ;-)

27.01.2012, 22:14

lgrizu

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Zitat:

Original von lösungsfinder
Ah, ok du hast recht. und amit gilt auch det(A) = 15 mod 3 = 0

Falsche Schreibweise:

Es ist $\begin{eqnarray*} \det A=15 \equiv 0 \mod 3 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von lösungsfinder
Was bedeutet es gibt unendlich viele lösungen!!!

Oder keine, das hängt dann vom Lösungsvektor ab.

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