Wert einer Reihe ausrechnen

28.01.2012, 00:58

EulerX

Wert einer Reihe ausrechnen

Hallo,
will folgende aufgabe lösen, und zwar soll ich den Wert der Reihe ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(n-1)!(n+1)} \end{eqnarray*}$

Ich komme hier einfach garnicht weiter, ich schätze mal, dass ich die Aufgabe so umformen muss, so dass ich einer dieser Formeln anwenden kann:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n!} = e \end{eqnarray*}$

oder/ und

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!} = e^x \end{eqnarray*}$

Die Frage ist nur wie ???

28.01.2012, 01:07

Gast11022013

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RE: Wert einer Reihe ausrechnen !
Nur eine Idee:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n-1)!\cdot (n+1)}=\frac{1}{n!}\cdot \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

Andere spontane Idee: Partialbruchzerlegung

Aber alles ohne Gewähr...

Edit:

Du hast Dich da vertippt.

Es ist $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{n!}=e-1 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

28.01.2012, 02:21

Mulder

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RE: Wert einer Reihe ausrechnen !

Zitat:

Original von Dennis2010
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n-1)!\cdot (n+1)}=\frac{1}{n!}\cdot \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

Wenn man dann noch bedenkt, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n+1} = 1-\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

ist, sollte man tatsächlich auf was brauchbares stoßen. Augenzwinkern

28.01.2012, 10:46

mathinitus

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RE: Wert einer Reihe ausrechnen

Zitat:

Original von EulerX
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!} = e^x \end{eqnarray*}$

Hier schreite ich nun mal ein, wo Dennis2010 vorbildlich die andere Reihe übernahm:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!} = e^x-1 \end{eqnarray*}$

28.01.2012, 19:47

EulerX

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Zu nächstmal danke euch.

Klar ich habe mich vertippt, ich meinte:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} = e \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = e^x \end{eqnarray*}$

oder wie ihr schon korriegiert habt e-1/e^x -1 wenn man mit 1 beginnt.

Jetzt zu Aufgabe, leider komme ich immer noch nicht vorran, wenn ich folgendes hab:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(n-1)!(n+1)} = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n!} - \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n!(n+1)} \end{eqnarray*}$

Für das erste ist alles klar, aber wieder kann ich das zweite nicht so splitten damit was rauskommt, was mir wirklich helfen könnte.

Habe versucht dem Zähler mit n-n zu addieren damit ich so was ändern kann, aber im Endeffekt komme ich wieder auf das selbe zurück:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n!(n+1)} = \frac{1}{n!} - \frac{n}{n!(n+1)} = ... \end{eqnarray*}$

Ein kleiner Tip wäre nicht schlecht, leider fällt mir immer nur daselbe ein, die 1 im Zähler macht mir das so schwer. Der zweite Gedanke mit etwas zu multiplizieren/dividieren fällt auch weg, da es eigentlich keinen Sinn ergibt.(zumind. für mich)

28.01.2012, 19:57

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \left( \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \ldots \right) - \left( \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \ldots \right) \end{eqnarray*}$

Was kommt da wohl heraus? Kenntnisse über die Eulersche Zahl sind nicht vonnöten.

28.01.2012, 20:24

EulerX

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Na 1 sollte rauskommen und das ist auch das richtige Ergebnis, aber kann ich das so einfach schreiben ?

Ich meine ist das mathematisch so korrekt, ich frag ja auch nur weil oft ist vieles klar in mathe, aber man darf das nicht so simple verwenden.

Also wenn z.B. ein Aufgabe das als Beweiss verlangt, kann ich es so schreiben ?

28.01.2012, 20:35

Leopold

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Erfahrene Mathematiker dürfen so schreiben. Leute, die nicht so sicher sind, was die drei Pünktchen bedeuten, müssen halt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k!} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(k+1)!} \right) \end{eqnarray*}$

rechnen. Aber wenn man die Differenz der beiden Summen nimmt, bleiben ja auch nur zwei Summanden übrig.

28.01.2012, 21:00

EulerX

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OK danke!

28.01.2012, 22:19

EulerX

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Hallo ich bins wieder,
könntet ihr mir mal folgendes erklären. Ich weiss hat zwar nix mit der Aufgabe zu tun, aber auf jeden Fall mit ähnliche Aufgaben.

Ich habe folgende Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n}{n!} \end{eqnarray*}$

Die löse ich so:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n}{(n-1)!n} = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(n-1)!} = e \end{eqnarray*}$

Also weil ein n "wegkommt", wird der zeiger von n=0 auf n=1 hochgestellt, was ja auch logisch ist, da die Reihe "kürzer wird".

Aber wieso ist folgendes falsch: ?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n}{n!} =\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n}{(n-1)!n} = \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{(n-1)!} (+ 1 - 1) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(n-1)!} -1 = e-1 \end{eqnarray*}$

Hier habe ich genau dasselbe gemacht, aber das Ergebnis sollte e rauskommen, und nicht e-1.

Wo habe ich mein Fehler ? Was habe ich nicht richtig verstanden ?

28.01.2012, 22:50

fleurita

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hey!
bin selber erst ana 1 hörerin, aber dass die laufvariable verändert wird bei einer gleichheit erhaltenden umformung ist mir neu. Bist sicher dass das stimmt?

28.01.2012, 23:14

EulerX

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hi,
bin mir nicht 100 Prozentig sicher, aber muss schon stimmen, weil ich auch in verschiedene Bücher folgendes sehe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n^2}{n!} = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n}{(n-1)!} \end{eqnarray*}$

ohne aber, dass dieser Zwischenschritt erklärt wird.

Mir ist aber aufgefallen, dass ich diesen Schritt nur sehe, wenn an der Anfangsreihe n=0 ist.
Vielleicht geht dieser Schritt dann nur wenn n=0 (also so dass n=1 später wird).
Aber keine Ahnung, alles nur Spekulationen, ich weisses nicht, deshalb frage ich ja auch.

28.01.2012, 23:20

fleurita

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ich glaub nicht dass das was mit dem kürzen zu tun hat, sonderen eher wie du sagst mit dem startwert 0 der laufvariable, denn

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n}{(n-1)!} \end{eqnarray*}$ ist gar nicht definiert.

28.01.2012, 23:33

EulerX

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Zitat:

Original von fleurita
ich glaub nicht dass das was mit dem kürzen zu tun hat, sonderen eher wie du sagst mit dem startwert 0 der laufvariable, denn

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n}{(n-1)!} \end{eqnarray*}$ ist gar nicht definiert.

Ach so, das ergibt auf jeden Fall Sinn. Also wenn die Reihe einen Zustand erreicht wo der Startwert nicht mehr definiert ist, dann kann man den Startwert ändern (erhöhen).

Kann man das so als Regel sagen ?

Ich muss das bestätigt bekommen, weil wie gesagt es gibt sehr viele aufgaben wo so etwas vorkommt.

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