Wie geht man bei einem Beweis vor?

28.01.2012, 03:33

Gast11022013

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Wie geht man bei einem Beweis vor?

Meine Frage:
Hi,
meine Frage ist wie man bei einem Beweis vorgeht.

Wenn ich z.B. eine Aussage über Mengen beweisen möchte:

$\begin{eqnarray*} M\cup M=M; M\cap M=M \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Da dies hier meine erster Versuch ist etwas zu Beweisen und meine Kenntnisse nicht über die Beweismethode der vollständigen Induktion steigen, habe ich ehrlich gesagt keine Ahnung wie man da vorgehen muss, damit es ein vollständiger Beweis ist wo man nichts vergisst.

Ich würde hier jetzt glaubig so vorgehen:

$\begin{eqnarray*} M\cup M=M \Rightarrow M\in M \Rightarrow M\cap M=M \end{eqnarray*}$

Nun ja einen besseren Ansatz kann ich leider nicht liefern.
Von der Aussage ist es ja logisch, dass wenn man die Mengen M vereint wieder die Menge M entsteht und dass wenn man sie schneidet wieder bloß die Menge M bleibt. Das sollte dann heißen das M das einzige Element dieser Menge M ist (von der leeren Menge abgesehen).
Das Problem ist jetzt die Notation und der gedankliche Aufbau den man beim Beweisen verfolgt.

Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.

Danke im Voraus

28.01.2012, 04:18

Cheftheoretiker

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RE: Wie geht man bei einem Beweis vor?
Hi,

wie ist denn die Vereinigungsmenge definiert?

28.01.2012, 04:57

pseudo-nym

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RE: Wie geht man bei einem Beweis vor?

Zitat:

Original von Gmasterflash
$\begin{eqnarray*} M\cup M=M \Rightarrow M\in M \Rightarrow M\cap M=M \end{eqnarray*}$

Der erste Schluss ist falsch. Setze $\begin{eqnarray*} M = \emptyset \end{eqnarray*}$ , dann ist
$\begin{eqnarray*} \emptyset \cup \emptyset = \emptyset \end{eqnarray*}$ wahr, aber $\begin{eqnarray*} \emptyset \in \emptyset \end{eqnarray*}$ falsch, da die leere Menge per Definition keine Elemente enthält.

Wenn du zeigen sollst, dass zwei Mengen A und B gleich sind, musst du zwei Implikationen beweisen:
$\begin{eqnarray*} x \in A \rightarrow x \in B \\ x \in B \rightarrow x \in A \end{eqnarray*}$
Du kannst also anfangen indem du $\begin{eqnarray*} x \in M \cup M \end{eqnarray*}$ annimmst (beachte hangmans Hinweis!) und versuchst $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ zu zeigen.

28.01.2012, 18:43

Gast11022013

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Danke für eure Antworten:

Die Vereinigungsmenge ist die Menge der Elemente, die in mindestens einer der Mengen enthalten ist.

Dann probiere ich es mal erneut mit euren Tipps:

Sei $\begin{eqnarray*} x\in M\cup M \Rightarrow x\in M \end{eqnarray*}$ (da laut Definition x ja in mindestens einer dieser Mengen enthalten sein muss) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow x\in M\cap M \end{eqnarray*}$ (da laut Definiton der Schnittmenge x in allen der zu schneidenden Mengen enthalten sein muss)

Da die Vereinigunsmenge und die Schnittmenge nun die gleichen Elemente enthalten, wären diese gleich.

$\begin{eqnarray*} x\in M\cup M \Leftrightarrow x\in M\cap M<br /> \end{eqnarray*}$
verwirrt

verwirrt

bin ich jetzt schon näher dran??

Versuchen Mathe allein aus einem Buch zu lernen ist schwerer als gedacht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.01.2012, 17:54

Gast11022013

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Kann mir jemand vielleicht ein Feedback geben, oder ist es so grässlich falsch?

29.01.2012, 19:27

Iorek

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Das geht in die richtige richtige Richtung, ich würde vielleicht noch an der Schreibweise etwas arbeiten.

$\begin{eqnarray*} x\in M\cup M \Rightarrow x\in M \vee x \in M \end{eqnarray*}$ nach Definition der Vereinigungsmenge, also folgt nun $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ . Gerade am Anfang sollte man diese kleinen Schritte machen.

Du hast aber bisher nur die eine Richtung gezeigt, $\begin{eqnarray*} x\in M\cup M \Rightarrow x\in M \end{eqnarray*}$ oder anders aufgeschrieben $\begin{eqnarray*} M\cup M \subseteq M \end{eqnarray*}$ . Du musst noch die andere Richtung zeigen, damit die Mengengleichheit nachgewiesen ist.

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29.01.2012, 19:36

Gast11022013

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Ich fühle mich gerade echt gut, dass es in die richtige Richtung geht. Big Laugh

Big Laugh

Ich dachte ich hätte die andere Richtung auch bewiesen, in meinem letztem Schritt wo ich die Mengengleichheit über den Äquivaltenenpfeil dargestellt habe.

Wenn ich jetzt die andere Richtung zeigen will, so muss ich da ansetzen, dass dieses x ein Element der Schnittmenge ist.
Das heißt ich kann meine Aussage mehr oder weniger umdrehen??

Sei $\begin{eqnarray*} x\in M\cap M \Rightarrow x\in M \vee x\in M \Rightarrow x\in M \Rightarrow x\in M\cup M \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

Das wäre ja fast das selbe was du geschrieben hast. Ist es trotzdem richtig?

29.01.2012, 19:40

Iorek

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Moment, wir sollten uns zuerst einmal darauf einigen, was du gerade zeigen willst.

Edit: Ich hab Tomaten auf den Augen.

29.01.2012, 19:44

Gast11022013

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Achso, dann habe ich das falsch verstanden.
Ich dachte das gehört zu ein und dem selbem und das aus $\begin{eqnarray*} M \cup M = M \end{eqnarray*}$ direkt $\begin{eqnarray*} M \cap M=M \end{eqnarray*}$ folgt, was es zu beweisen gilt.

Das heißt ich muss nun so gesehen vier Beweise machen jeweils in die "Vorwärts- und Rückwärtsrichtung"?

29.01.2012, 19:48

Iorek

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Ich ziehe meine Aussage zurück, natürlich gilt diese Gleichheit stets.

Was zu zeigen ist:
$\begin{eqnarray*} M\cup M = M \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M\cap M = M \end{eqnarray*}$

Dafür sind dann jeweils die Hin- und Rückrichtung zu zeigen.

29.01.2012, 19:51

Gast11022013

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Ok.
Ich lass mir das dann nochmal durch den Kopf gehen und poste morgen mal meinen "Beweis"

Muss jetzt erstmal Offline.

Auf jeden Fall schon einmal danke an alle für die Hilfe.
smile

smile

31.01.2012, 17:43

Gast11022013

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Ich bin nun so fortgefahren:

Für $\begin{eqnarray*} M\cup M = M \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} x\in M\cup M \Rightarrow x\in M \vee x\in M \Rightarrow x\in M \end{eqnarray*}$

Dann die nun mehr einfache Rückrichtung:

Sei $\begin{eqnarray*} x\in M \Rightarrow x\in M \vee x\in M \Rightarrow x\in M \cup M \end{eqnarray*}$

Um nun die Aussage

$\begin{eqnarray*} M\cap M = M \end{eqnarray*}$ zu zeigen bin ich ähnlich vorgegangen:

Sei $\begin{eqnarray*} x\in M\cap M \Rightarrow x\in M \wedge x\in M \Rightarrow x\in M \end{eqnarray*}$

Und nun wie gehabt die Rückrichtung:

$\begin{eqnarray*} x\in M \Rightarrow x\in M \wedge x\in M \Rightarrow x \in M\cap M \end{eqnarray*}$

War es tatsächlich so "einfach"??
Oder muss man explizit bei der Rückrichtung noch auf etwas achten??

31.01.2012, 22:32

Iorek

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Ja, bei diesen (wie man so schön sagt) trivialen Aussagen, ist der Beweis wirklich so einfach. Das besteht nur aus der Verwendung der Definition.

31.01.2012, 22:39

Gast11022013

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Ist das so nun korrekt??

Keine Sorge ich habe hier noch ein paar mehr Aufgaben zum Beweisen in meinem Buch bei denen ich eure hilfe in anspruch nehmen muss xD.
Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.01.2012, 22:54

Iorek

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Ja, das ist so in Ordnung.

31.01.2012, 22:59

Gast11022013

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Nice

Big Laugh

Wenn ich nun eine Aussage der Mengenlehre beweisen soll, kann ich dann einfach in den meisten fällen annehmen das es ein x gibt was in dieser Menge liegt und darauf dann den Beweis aufbauen bzw. über einen Widerspruch gehen und annehmen das ein x nicht in der Menge liegt.

Gibt es eine Art "Muster" nach dem man vorgehen kann oder prüfen kann was am besten ist.
Oder ist es schwer da eine differenzierte Aussage drüber zu treffen, weil die Aufgaben ansich zu verschieden sind (in der Regel)??

31.01.2012, 23:13

Iorek

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Zitat:

Original von Gmasterflash
Oder ist es schwer da eine differenzierte Aussage drüber zu treffen, weil die Aufgaben ansich zu verschieden sind (in der Regel)??

Damit hast du das "Problem" getroffen, es gibt in der Mathematik (im Unterschied zur Schulmathematik) kein Muster, dass man einfach auswendig lernen und anwenden kann. Zwar gibt es durchaus Aussagen, bei denen man ähnlich vorgeht (Induktion), das ist aber nicht der Regelfall.

31.01.2012, 23:18

Gast11022013

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Damit habe ich gerechnet. smile

smile

Dann bedanke ich mich recht herzlich bei dir und natürlich allen weiteren Beteiligten für die Hilfestellungen.

Die nächste Aufgabe kommt bestimmt.
Den wie auch in der Schulmathematik denke ich gilt ebenfalls in der Hochschulmathematik: "Übung macht den Meister." Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wink

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