Algebra Galoisgruppe bestimmen

28.01.2012, 10:52

algebrandi

Algebra Galoisgruppe bestimmen

Meine Frage:
hallo zusammen,
folgende aufgabe wurde gestellt: man soll die galoisgruppe des zerfaellungskoerpers von x^4-5 einmal ueber Q und einmal ueber Q(i) bestimmen?
ich habe dran gesetzt und auch einiges rausbekommen. bin mir allerdings nicht sicher ob die loesung korrekt ist - vorallem was die galoisgruppe des zerfaellungskoerpers (ZFK) uber Q angeht! Ich habe mehr geraten, als zu wissen, was ich wirklich tun muss um hier auf die verschiedenen elemente der galoisgruppe zu kommen. koennt ihr mir vielleicht weiterhelfen!? sind meine rechnung (loesungen) was ZFK etc. angeht korrekt und wie genau komme ich auf die element der galoisgruppe?
danke!!!
gruss andi

Meine Ideen:
zunaechst habe ich mir den fall fuer ZFK ueber Q ueberlegt:
um den ZFK zu bestimmen, betrachte ich die nullstellen von x^4-5, die da waeren: 4te?5, -4te?5, 4te?5 i, -4te?5 i
oder mit hilfe der 4ten einheitswurzeln ausgedrueckt: 4te?5 e(2?i/4), 4te?5 e(?i)= -4te?5 , 4te?5 e(3?i/2), 4te?5 e(2?i)= 4te?5.
somit ist der ZFK von X^4-5 der form Q(4te?5, i) bzw. Q(4te?5, e(2?i/4)) ueber Q.
fuer galoiserweiterungen gilt, der grad der koerperererweiterung ist gerade gleich der ordnung der galoisgruppe.
zunaechst habe ich mir also ueberlegt, dass die koerpererweiterung Q(4te?5, e(2?i/4))/Q bzw. Q(4te?5, i)/Q normal und seperabel, also galois ist. somit ist nur noch der grad der koerpererweiterung zu berechnen um zu sehen wieviel element in der galoisgruppe liegen.
ich habe grad 8 erhalten. d.h. galoisgruppe hat 8 element. bis hierher stimmt hoffentlich noch alles! jetzt mein problem, wie sehen die 8 elemente der galoisgruppe aus? klar ist, der grundkoerper hier Q muss immer festgehalten werden und die 4te?5 muss auf eine der 4te?5 abgebildet werden...
sicher ist einer der elemente der galoisgruppe die identiaetsabbildung 4te?5 -> 4te?5, e(2?i/4)-> e(2?i/4)
aber wie sehen jetzt die anderen element aus???

4te?5 -> - 4te?5
4te?5 -> e(2?i/4)4te?5
4te?5 -> - e(2?i/4)4te?5
4te?5 -> e(3?i/2)4te?5
4te?5 -> -e(3?i/2)4te?5

somit komme ich eben nur auf 6 von eigentlich 8 elementen. also kann das kaum richtige sein...
falls das doch stimmen sollte, warum ist das so? wie gesagt, der letzte schritt ist nur geraten! und welche 2 elemente fehlen noch! danke!!!
genauso bin ich beim falls ueber Q(i) vorgegangen. als ZFK habe ich hier Q(4te?5). also die koerpererweiterung Q(4te?5)/Q(i), dies ist keine galoiserweiterung, da die erweiterung nicht normal ist.
also gilt grad der koerpererweiterung ist groesser oder gleich der ordnung der galoisgruppe. fuer den grad habe ich hier 4 erhalten. also hat die galoisgruppe hoechstens 4 elemente. betrachtet man dass der grundkoerper Q(i) festgehalten werden musst, so dachte ich "nur" die 4te?5 muessen noch zugeordnent, d.h. untereinander aufeinander abgebildet werden. dafuer gibt es nur zwei moeglichkeiten: die identitaet 4te?5 -> 4te?5 und 4te?5 -> -4te?5. somit erhalte ich eine galoisgruppe mit 2 elemente, welche dann isomorph zu Z/2Z sein muss. IST DAS KORREKT?!?!

28.01.2012, 10:54

alebrandi

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RE: Algebra Galoisgruppe bestimmen
es sollte 4te wurzel aus 5 heissen und e hoch 2 phi i viertel...
sorry

28.01.2012, 23:01

galoisseinbruder

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Hallo,

ich stimme dir zu, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Q (\sqrt[4]{5},i ) \end{eqnarray*}$ der ZFK des Polynoms über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist, dass die erweiterung galoisch vom Grad 8 ist.
Danach wird´s leider etwas unübersichtlich da du wohl leider deine eigene Erkenntnis $\begin{eqnarray*} i=e^{\frac{i \pi}{2}} \end{eqnarray*}$ . (was das Ganze zum Aufschreiben und lesen deutlich unübersichtlicher macht.)
Die NST sind also $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt[4]{5}, \pm \sqrt[4]{5}i \end{eqnarray*}$ .
Da $\begin{eqnarray*} e^{\frac{3 i \pi}{2}}=-i \end{eqnarray*}$ hast du sogar nur 4 Gruppenelemente. Du vergißt nämlich (obwohl du es bei der Identität erwähnst) dass du neben $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{5} \end{eqnarray*}$ auch noch $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{5}i \end{eqnarray*}$ permutieren kannst.
(ddas Verhalten der anderen beiden NST unter den Galoisgruppenelementen wird durch diese zwei NST bestimmt.)

Beim zweiten Teil bist du auf dem Holzweg. Gesucht ist der ZFK. Und ZFK sind immer normal über dem Grundkörper. (Man kann L/K normal definieren als: L/K ist algebraisch und l ist der ZFK einer Familie von Polynomen über K)

29.01.2012, 23:18

algebrandi

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super danke!
hilft mir schon um einiges weiter.
den zweiten teil schaue ich mir nochmal an.
gruss

30.01.2012, 11:04

algebrandi

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Hallo,
also leider bin ich doch noch nicht so ganz durchgestiegen beim fall Q(i).
der ZFK x^{4} -5 über Q(i) war bei mir Q(\sqrt[4]{5}). x^{4} -5 ist ja weiterhin irreduzibel über Q(i)... irgendwie dachte ich es würde reichen nur \sqrt[4]{5} zu adjungieren. nach ein bisschen überlegen komme ich allerdings darauf, dass der ZFK immernoch Q(\sqrt[4]{5}, i) sein muss. nach der definition von ZFK... denn nur darin zerfällt das polynom x^{4} -5 vollständig.
jetzt bleibt die frage ob die körpererweiterung galois ist. da x^{4} -5 nur 4 einfache nullstellen hat ist die ke sicher separabel, und auch normal, nach nem satz ist die ke dann normal wenn Q(\sqrt[4]{5} , i) ZFK des Polynoms x^{4} -5 über Q(i)[X] ist.
was hier ja der fall ist, oder?!
der grad der ke ist also wieder der ordnung der galoisgruppe.
folglich ist der grad der ke Q(\sqrt[4]{5} , i)/Q(i) doch gerade 4. ist das jetzt korrekt?
denn x^{4} -5 ist irreduzible über Q(i) und \sqrt[4]{5} ist nullstelle von diesem polynom.
somit hat die galoisgruppe 4 elemente.
1.Identität: \sqrt[4]{5} -> \sqrt[4]{5}
i -> i

2. \sqrt[4]{5} -> - \sqrt[4]{5}
i -> i

3. \sqrt[4]{5} -> \sqrt[4]{5}
i -> -i
4. \sqrt[4]{5} -> - \sqrt[4]{5}
i -> -i

ich bin mir ein bisschen unsicher ob meine überlegungen so nun korrekt sind.
es wäre nett wenn ich nochmal kurz rückmeldung bekommen könnte...
danke!!!

30.01.2012, 11:15

algebrandi

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was mir gerade eben noch aufgefallen ist, ist das der grundkörper Q(i) ja festgehalten werden muss. also auch i auf i abgebildet werden muss. sodass meine 4 angegeben abbildungen gar nicht stimmen können

vielmehr müsste es dann:
1 -> 1
\sqrt[4]{5} -> \sqrt[4]{5}

1 -> 1
\sqrt[4]{5} -> - \sqrt[4]{5}

leider komme ich dann nicht darauf die anderen 2 elemente aussehen müssen!!!

1 -> 1
\sqrt[4]{5} -> i \sqrt[4]{5} ist diese Abbildung möglich???

30.01.2012, 11:22

algebrandi

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hallo
mir ist gerade noch eine idee gekommen ...
wenn ich weiss dass die galoisgruppe 4 elemente hat, dann weiss ich aus der gruppentheorie, dass es nur zwei arten von gruppen mit 4 elementen gibt. nämlich die zyklische gruppe Z/4Z und die kleinsche vierergruppe (Z/2Z) x (Z/2Z).
leider erkenne ich nicht zu welcher der beiden gruppen die galoisgruppe isomorph ist.
könntet ihr mir vielleicht ein tipp geben? danke

30.01.2012, 18:03

galoisseinbruder

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Zitat:

1 -> 1 \sqrt[4]{5} -> i \sqrt[4]{5} ist diese Abbildung möglich???

Ja, und das beantwortet dann auch die anderen Fragen.

31.01.2012, 08:43

algebrandi

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danke!

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