Bilinearform

28.01.2012, 13:05

Furius456

Bilinearform

Meine Frage:
Hallo hatten die Bilinearform folgendermaßen definiert:

b: VxV --> K
(v,w) --> b(v,w)

Das versteh ich soweit noch.. fand die definition bei Wikipedia sehr schlüssig.
Dann wurden die partiellen abbildungen

blu: V --> K
u --> b(u,v)

bru: V --> K
u --> b(v,u)

definiert.. damit hab ich n wenig Probleme.. heißt das nun das ich mein b also nur auf den rechten bzw. linkenteil anwende?! Und v bleibt gleich?

Aus diesen wurden dann

Phi(b,l): V --> V*
u --> b l,u

Phi(b,r): V --> V*
u --> b r,u

Und hier versteh ich so ausm Skript gar nicht was damit gemeint ist... finde auch irgendwie im Internet nichts dazu.. wofür diese abbildungen seien sollen.. weil das ist doch eigentlich noch einmal genau das gleiche wie das darüber oder? Weil ja ein u auf br,u abgeildet wird..also wieder eine Partielle abbildung.

Meine Ideen:
Wäre nett wenn mir das irgendwie jemand erklären könnte smile

28.01.2012, 20:14

system-agent

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RE: Bilinearform
Bitte versuche den Formeleditor zu nutzen Augenzwinkern

Zitat:

Original von Furius456
Dann wurden die partiellen abbildungen

blu: V --> K
u --> b(u,v)

bru: V --> K
u --> b(v,u)

definiert.. damit hab ich n wenig Probleme.. heißt das nun das ich mein b also nur auf den rechten bzw. linkenteil anwende?! Und v bleibt gleich?

Ja, genau. Nur $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ variiert und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ bleibt fest. Beachte, dass beides lineare Abbildungen sind [wieso?].

In anderen Worten: Für jeden (fest) gewählten Vektor $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ hast du auf diese Art und weise zwei lineare Abbildungen geliefert bekommen, nämlich gerade die Abbildungen $\begin{eqnarray*} b_{l,v} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{r,v} \end{eqnarray*}$ .

Das wurde mit deinen Phi's ausgedrückt: Pro Wahl eines Index [ $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ] und pro gewähltem Vektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ , kriegst du eine lineare Abbildung, nämlich gerade die Abbildung $\begin{eqnarray*} b_{l,v} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b_{r,v} \end{eqnarray*}$ .

Beachte, dass $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ der Vektorraum aller linearen Abbildungen $\begin{eqnarray*} V\to K \end{eqnarray*}$ ist.

29.01.2012, 13:26

Furius456

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Jaa gut versteh ich soweit smile

Wir hatten jetzt eine Aufagbe, das sollte ich zu zwei Basen, einmal der normalen Kanonischen basis und einmal einer anderen die Grammatriuzen bezüglich unten genannten b angeben. Hab ich soweit hinbekommen. Nun soll ich gucken ob b ausgeartet ist oder nicht.
Das ist unter anderem die vorraussetzung:

$\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ b,r bzw. $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ b,l ist bijektiv.

b(u,v) := u1*v1-u2*v2+3u2v3+3u3v2-5u1v2-5u2v1+2u3v3

Wie sieht denn dann man $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ b,l dann aus bezüglich meiner normalen Kanonischen Basis? Lass ich dann aus dem obigen Term einfach alle u raus?

31.01.2012, 08:18

system-agent

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Zitat:

Original von Furius456
normalen Kanonischen basis

Ein allgemeiner Vektorraum hat keine "kanonische Basis". Da musst du schon eine angeben. Nur im Fall $\begin{eqnarray*} V=K^n \end{eqnarray*}$ gibt es kanonische Basen.

31.01.2012, 14:47

Furius456

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Ist die einheitsbasis im R^3 keine Kanonische Basis? upps :X

Naja meinte die einheitsbasis also in diesem Beispiel {{1,0,0},{0,1,0},{0,0,1}} smile

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