Lineare Abbildung, Teilraum zeigen

15.01.2007, 20:45

Faelivrin

Lineare Abbildung, Teilraum zeigen

Hallo,

ich soll zeigen:

Zitat:

Es sei $\begin{eqnarray*} f:W \rightarrow V \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung. Beweisen Sie:

$\begin{eqnarray*} f(W) \end{eqnarray*}$ ist Teilraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ .

Ich hab mir jetzt (mit Hilfe eines Beweises in der Vorlesung folgendes überlegt und würde gerne wissen, ob ich so vorgehen kann.

Beweis:

Wegen $\begin{eqnarray*} f(0_w)=0_v \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} 0_w \in f(W) \end{eqnarray*}$ dh. $\begin{eqnarray*} f(W) \neq \emptyset\ \end{eqnarray*}$

i) $\begin{eqnarray*} x,y \in f(W) \end{eqnarray*}$ , dh. es gibt $\begin{eqnarray*} w_x. w_y \in W \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(w_x)=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(w_y)=y \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} f(w_x + w_y) = f(w_x) + f(w_y) = x+y \end{eqnarray*}$ , dh. $\begin{eqnarray*} x+y \in f(W) \end{eqnarray*}$ , wegen $\begin{eqnarray*} w_x + w_y \in W \end{eqnarray*}$ .

ii) $\begin{eqnarray*} x \in f(W) , \alpha \in K \end{eqnarray*}$ , dh. $\begin{eqnarray*} f(w_x)=x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} w_x \in W \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} f(\alpha\cdot w_x) = \alpha\cdot f(W) = \alpha\cdot x \end{eqnarray*}$ , dh. $\begin{eqnarray*} \alpha \cdot x \in f(W) \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} \alpha \cdot w_x \in W \end{eqnarray*}$ .

Kann ich den Beweis so führen oder muss ich da anders rangehen?

Gruß, Falco

15.01.2007, 21:35

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Abbildung, Teilraum zeigen
Also die 0 von W wird auf die 0 von V abgebildet. Bitte ändern. Ansonsten müsste es stimmen. Ist ja der Beweis, dass das Bild einer Linearen Abbildung ein Unterraum des "Zielvektorraums" ist.

16.01.2007, 08:28

Faelivrin

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, das war ein Tippfehler,

dankeschön! smile

Neue Frage »

Antworten »

Lineare Abbildung, Teilraum zeigen

Verwandte Themen