Bestimmung Menge, für die die Reihe konvergiert

28.01.2012, 18:26

mawi

Bestimmung Menge, für die die Reihe konvergiert

Hallo,

ich brauch mal wieder eure Hilfe.
In meinem Matheblatt gibt es diese Woche eine Aufgabe zu Potenzreihen und ich kriegs einfach net hin.

Beispielhaft Aufgabe a).

Bestimmen Sie für die folgende Reihe die Menge aller x aus R, für die die Reihe konvergiert.

a) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(x-1)^{3n}}{(4+(-1)^{n})^{3n}} \end{eqnarray*}$

So, unser Tutor hat uns eine Beispielaufgabe gezeigt, aber ich kann das irgendwie nicht hierauf anwenden.

Ich muss nun als erstes den Konvergenzradius bestimmen, oder? Muss ich das Wurzelkriterium nutzen?

28.01.2012, 18:30

Leopold

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RE: Bestimmung Menge, für die die Reihe konvergiert

Zitat:

Original von mawi
Muss ich das Wurzelkriterium nutzen?

Müssen, müssen, müssen ...
Du mußt gar nichts. Wenn es dir nützt, dann nimm das Wurzelkriterium, wenn nicht, dann laß es bleiben.

28.01.2012, 18:36

mawi

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Gut, dann eben: Sollte ich das Wurzelkriterium nutzen? Nützt es mir, dass Wurzelkriterium anzuwenden?

28.01.2012, 18:37

Leopold

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Tu es einfach. Und wenn es nichts bringt, dann eben etwas anderes.

28.01.2012, 18:39

mawi

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Super. Vielen Dank für deine Hilfe.

28.01.2012, 18:45

Leopold

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Ich hab's getan und hab' auch das Ergebnis schon.

28.01.2012, 18:59

mawi

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Okay, dann versuch ichs mal.

Ich wende also das Wurzelkriterium an und erhalte:

$\begin{eqnarray*} \frac {(x-1)^{3}} {(4+(-1)^{n})^{3}} \end{eqnarray*}$

Danach würde ich eine Fallunterscheidung vornehmen für n=gerade und n=ungerade.

1. n=gerade
$\begin{eqnarray*} \frac {(x-1)^{3}} {(4+1)^{3}} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac {(x-1)^{3}} {125} \end{eqnarray*}$

2. n=ungerade

$\begin{eqnarray*} \frac {(x-1)^{3}} {(4+(-1)^{n})^{3}} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac {(x-1)^{3}} {(4-1)^{3}} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac {(x-1)^{3}} {27} \end{eqnarray*}$

Ich weiß nun aber nicht, wie ich weitervorgehen soll (insofern das stimmt)

28.01.2012, 19:05

Leopold

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Das stimmt, wenn du noch Betragsstriche im Zähler setzt. Und jetzt mußt du von der Folge den limes superior bestimmen, also den größten Häufungspunkt. Und wenn dieser limes superior kleiner als 1 ist, dann konvergiert die Reihe, ist er größer als 1, divergiert die Reihe. Und den Fall, daß er gleich 1 ist, mußt du gesondert untersuchen.

28.01.2012, 20:10

mawi

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Äh, ich muss nochmal was fragen. Muss ich das so schreiben?

= $\begin{eqnarray*} \frac {(x-1)^{3}} {27} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \frac {1} {27} *(x-1)^{3} \end{eqnarray*}$

Bei der Potenzreihe wird ja immer unterteilt in die Folge an und den Teil $\begin{eqnarray*} (x_{0}-x)^{n} \end{eqnarray*}$

Oder hilft mir dieser Schritt nicht weiter?

28.01.2012, 20:15

Leopold

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Du bist gerade dabei, das Wurzelkriterium anzuwenden. Jetzt wechselst du die Perspektive und scheinst mir auf Erkenntnisse über Potenzreihen zurückgreifen zu wollen, die selber wiederum auf dem Wurzelkriterium beruhen. Bleib bei deinem ursprünglichen Ansatz. Wende das Wurzelkriterium an. Untersuche, für welche $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \limsup_n \frac{|x-1|^3}{\left( 4 + (-1)^n \right)^3} < 1 \ \ \text{bzw.} \ > 1 \end{eqnarray*}$

ist.

28.01.2012, 20:29

mawi

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Gut, wenn n gerade ist:

= $\begin{eqnarray*} \frac {(x-1)^{3}} {125} \end{eqnarray*}$ <1

= $\begin{eqnarray*} (x-1)^{3} < 125 \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} x-1 < +-5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -> x<6 bzw. x <-4 \end{eqnarray*}$

n=ungerade

= $\begin{eqnarray*} \frac {(x-1)^{3}} {27} <1 \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} (x-1)^{3} <27 \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} x-1 <+-3 \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} -> x<4 bzw. x<-2 \end{eqnarray*}$

28.01.2012, 20:30

Leopold

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Nicht den Term selbst mit 1 vergleichen, sondern seinen limes superior.

28.01.2012, 20:43

mawi

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Ich hab bisher nie mit limsup gearbeitet und weiß leider net, was ich machen muss.
Hast du noch en Tipp?

28.01.2012, 21:34

Leopold

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Der limes superior ist der größte Häufungspunkt einer Folge. Wenn eine Folge einen Grenzwert hat, dann ist der Grenzwert der limes superior. Die vorliegende Folge hat jedoch wegen des Spiels gerade-ungerade keinen Grenzwert, dafür aber zwei Häufungspunkte. Die Folge alterniert ja zwischen zwei konstanten (konstant im Hinblick auf $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ) positiven Werten hin und her. Was ist nun der größte Häufungspunkt?

29.01.2012, 13:33

mawi

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Ich versteh auf jedenfall was du meinst.

Wie z.B. bei $\begin{eqnarray*} (-1)^{n} \end{eqnarray*}$ , wo die Folge von 1 zu -1 springt, springt hier die Folge zwischen 125 und 27 (im Nenner). Ich tue mich nur gerade sehr schwer mit dem x im Zähler. Wie berücksichtige ich das?

30.01.2012, 07:52

Leopold

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Der limes superior ist bezüglich der Folgeneigenschaft, also bezüglich $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zu bilden. Für diese Betrachtung ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ als fest anzusehen:

$\begin{eqnarray*} \limsup_n \frac{|x-1|^3}{\left( 4 + (-1)^n \right)^3} = \frac{|x-1|^3}{27} \end{eqnarray*}$

Für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , für die dieser Term kleiner als $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist, liegt Konvergenz, und für die er größer als $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist, Divergenz vor. Es bleiben die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , für die der Term gleich $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist (Rand des Konvergenzintervalls).

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