Hilfe bei Matrizengleichung

28.01.2012, 21:35

kartiloco

Hilfe bei Matrizengleichung

Hallo,

wie löst man folgende Matrizengleichung:

$\begin{eqnarray*} A²(E-2A^{-1}X)+AX=A^{-1} \end{eqnarray*}$

nach X auf?

Danke! smile

28.01.2012, 21:41

fleurita

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RE: Hilfe bei Matrizengleichung
wende das linke distributivgesetz an und benutz dann, dass $\begin{eqnarray*} AA^{-1}=E \end{eqnarray*}$

28.01.2012, 22:06

kartiloco

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Mein Ansatz bisher:

Klammer auflösen:

$\begin{eqnarray*} A²E-A²2A^{-1}X+AX=A^{-1} \end{eqnarray*}$

dann ist ja $\begin{eqnarray*} A²E=A² \end{eqnarray*}$ also:

$\begin{eqnarray*} A²-A²2A^{-1}X+AX=A^{-1} \end{eqnarray*}$

und nun dachte ich mir dass

$\begin{eqnarray*} A²2A^{-1}X \end{eqnarray*}$

das selbe ist wie

$\begin{eqnarray*} A²(A^{-1})²X \end{eqnarray*}$

und das ist

$\begin{eqnarray*} EX \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$

insgesamt also erstmal:

$\begin{eqnarray*} A²-X+AX=A^{-1} \end{eqnarray*}$

ist das bis hierhin richtig oder bin ich schon auf dem Holzweg?

28.01.2012, 22:24

fleurita

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Zitat:

Original von kartiloco

und nun dachte ich mir dass

$\begin{eqnarray*} A²2A^{-1}X \end{eqnarray*}$

das selbe ist wie

$\begin{eqnarray*} A²(A^{-1})²X \end{eqnarray*}$

stimmt nit smile

es gilt $\begin{eqnarray*} k\cdot A =(kA) \end{eqnarray*}$ also z.b. für ein skalar $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb K \end{eqnarray*}$ und eine matrix $\begin{eqnarray*} \mathbb K ^{2\times 2} \ni M:=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} k\cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ka & kb \\ kc & kd \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

28.01.2012, 22:31

Gastundsoweiter

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Außerdem wurde schon gesagt, $\begin{eqnarray*} A * A^(-1) \end{eqnarray*}$ = E

und A² = A*A...

28.01.2012, 23:27

kartiloco

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$\begin{eqnarray*} 2A^{-1} \end{eqnarray*}$ ist also nicht das selbe wie $\begin{eqnarray*} (A^{-1})² \end{eqnarray*}$ ?

Ok ich weiß nicht weiter, ich bin also hier:

$\begin{eqnarray*} A²-A²2A^{-1}X+AX=A^{-1} \end{eqnarray*}$

wie lautet nun der nächste Schritt?

28.01.2012, 23:37

fleurita

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Zitat:

Original von kartiloco
$\begin{eqnarray*} 2A^{-1} \end{eqnarray*}$ ist also nicht das selbe wie $\begin{eqnarray*} (A^{-1})² \end{eqnarray*}$ ?

absolut nicht.... die addition, subtraktion und multiplikation mit einer zahl verlaufen genau gleich wie wenn matrizen zahlen oder variablen oder so was wären:

$\begin{eqnarray*} 2x=x+x;~\ x^{-1}+x^{-1}=2x^{-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2A^{-1}=A^{-1}+A^{-1} \end{eqnarray*}$ , während $\begin{eqnarray*} (A^{-1})²=A^{-1}\color{red}\cdot \color{black}A^{-1} \end{eqnarray*}$

kommst jetz weiter? smile

29.01.2012, 00:26

kartiloco

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Nein, ich komm überhaupt nicht weiter.
Bitte um konkrete Hilfestellung zur genannten Aufgabe smile

29.01.2012, 03:24

kartiloco

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Habe es jetzt mal wie folgt versucht:

$\begin{eqnarray*} A²(E-2A^{-1}X)+AX=A^{-1}\quad|(A²)^{-1} * \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E-2A^{-1}X+A^{-1}X=A^{-3}\quad|-E \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2A^{-1}X+A^{-1}X=A^{-3}-E \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -A^{-1}X=A^{-3}-E\quad|*(-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^{-1}X=-A^{-3}+E\quad|A* \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X=-A^{-2}+A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X=A-A^{-2} \end{eqnarray*}$

Kommt das der Lösung näher? smile

29.01.2012, 16:47

ollie3

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hallo kartiloco,
habe nachgerechnet und probe gemacht, lösung müsste richtig sein. Freude

gruss ollie3

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