Skalarprodukt im Funktionenraum

29.01.2012, 11:51	Tuborg	Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukt im Funktionenraum Meine Frage: Überprüfen Sie dass durch $\begin{eqnarray} <p,q> := \int_0^1 \! p(x)q(x) \, dx \end{eqnarray}$ ein Skalarprodukt auf dem Vektorraum der reellen Polynome vom Grad höchstens zwei definiert ist. Wenden Sie das Gram-Schmid-Verfahren an, um die Basis { $\begin{eqnarray} 1,x,x^{2} \end{eqnarray}$ } bezüglich dieses Skalarproduktes zu orthomomieren. Meine Ideen: Das es ein Skalarprodukt ist mir realtiv klar. Das es eine Bilinearform ist, folgt aus der Definition den Integrals. Die positive Definitheit ist mir auch relativ klar. Nur wie ist das Orthonomieren zu verstehen?
29.01.2012, 12:15	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukt im Funktionenraum Weißt du, was eine Orthonormalbasis ist? Du sollst mittels des Gram-Schmidt-Verfahrens eine solche aus $\begin{eqnarray} \left\{1,x,x^2\right\} \end{eqnarray}$ erstellen.
29.01.2012, 12:38	Tuborg	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukt im Funktionenraum Ja, hab jetzt auch verstanden wie diese Verfahren funktioniert. (Script ist sehr verwirrend) { 1, x, x^2} - Basis : (a_1, a_2, a_3) Orthonormierte Basis: {b_1, b_2, b_3} alpha ist das Skalarprodukt $\begin{eqnarray} <br /> a_{1} = b_{1}<br /> b_{2} = a_{2} - \frac{\alpha (b_{1},a_{2})}{\alpha (b_{1},b_{1})} b_{1}<br /> b_{3} = a_{3} - \frac{\alpha (b_{1},a_{3})}{\alpha (b_{1},b_{1})} b_{1} - \frac{\alpha (b_{2},a_{3})}{\alpha (b_{2},b_{2})} b_{2}<br /> <br /> b_{1} = 1<br /> b_{2} = x- \frac {1} {2}<br /> b_{3} = x^{2}-x+\frac {1} {6}<br /> \end{eqnarray*}$ Richtig?
29.01.2012, 12:47	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukt im Funktionenraum Du musst die Vektoren noch normieren, aber sie bilden schonmal eine Orthogonalbasis
29.01.2012, 13:17	Tuborg	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, also die Vektoren noch mal mit $\begin{eqnarray} \frac {1} {\sqrt{\alpha(b_{n},b_{n})}} \end{eqnarray}$ multiplizieren damit komm ich dann auf $\begin{eqnarray} <br /> b_{1} = 1 <br /> b_{2} = 2\sqrt{3}(x-\frac{1}{2}) <br /> b_{3} = 6\sqrt{5}(x^{2}-x+\frac{1}{6})<br /> \end{eqnarray}$ Danke für die Hilfe
29.01.2012, 13:28	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist richtig
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