Prime Restklassengruppe ist immer multiplikativ

29.01.2012, 12:11	absolutVerwirrt	Auf diesen Beitrag antworten »
Prime Restklassengruppe ist immer multiplikativ Meine Frage: Hallo, ich bin beim Lernen für die kommende Algebra Klausur auf einen Beweis gestoßen, welcher mich etwas verunsichert. Es geht um die Aussage: $\begin{eqnarray} G\cong \mathbb{Z}_n \Rightarrow Aut(G)\cong \mathbb{Z}_n^ \end{eqnarray}$ Ok, G ist offenbar zyklisch nun, es wird nun eine Abbildung definiert: $\begin{eqnarray} \phi : \mathbb{Z}_n^* \rightarrow Aut(G),\;\; \bar{k} \mapsto \varphi_k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \varphi_k (a^{i})=a^{ki} \end{eqnarray}$ , ( $\begin{eqnarray} G=<a> \end{eqnarray}$ ) Es wird nun bewiesen, dass diese Abbildung ein Isomorphismus ist. Der Teil zur bijektivität ist mir klar, es folgt dann aber der Beweis der Homomorphismuseigenschaft wie folgt: $\begin{eqnarray} \phi(\bar{k}+\bar{l})=\varphi_{k+l}=\varphi_k\varphi_l=\phi (\bar{k})\phi(\bar{l}) \end{eqnarray}$ Wieso steht dort $\begin{eqnarray} \bar{k}+\bar{l} \end{eqnarray}$ ? "+"? Die Gruppe ist doch $\begin{eqnarray} (\mathbb{Z}_n^* , \; \cdot) \end{eqnarray}$ , sind doch gerade die Einheiten! Die Elemente aus $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_n \end{eqnarray}$ die ein multiplikatives Inverses besitzen ... Meine Ideen:* Irgendwas stimmt nicht. Entweder mit mir, oder mit dem Beweis. Ich habe keinen Ansatz.
29.01.2012, 12:49	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du hast Recht der Beweis ist schlicht falsch. Es ist $\begin{eqnarray} \varphi_{k+l}(x)=x^{k+l} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (\varphi_k \circ \varphi_l )(x)=\varphi_k(x^l)=x^{kl} \end{eqnarray}$ und das ist im Allgemeinen verschieden. Die angesprochene Zeile muss so lauten: $\begin{eqnarray} \phi(\bar{k}\cdot \bar{l})=\varphi_{k\cdot l}=\varphi_k\varphi_l=\phi (\bar{k})\phi(\bar{l}) \end{eqnarray}$
29.01.2012, 13:48	absolutVerwirrt	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die schnelle Antwort. : )

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