Konvergenzradius einer Potenzreihe

15.01.2007, 22:33

gibson

Konvergenzradius einer Potenzreihe

Hallo,
ich soll bei folgender Reihe den Konvergenzradius berechnen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~(\ln n)^{n+1}*x^n \end{eqnarray*}$

Nun, dafür muss ich ja zuerst einmal schauen, ob
$\begin{eqnarray*} a_n = (\ln n)^{n+1} \end{eqnarray*}$
konvergiert.
Und hier beginnt schon mein Problem.
Muss ich hier ein Konvergenzkriterium benutzen, oder reicht es wenn ich schreibe:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (\ln n)^{n+1} \end{eqnarray*}$
EDIT: allerdings würde hier $\begin{eqnarray*} \infty ^{\infty} \end{eqnarray*}$ rauskommen, wie ich gerade draufkomme... Warum muss mathe nur immer so kompliziert sein?
?

Und wie geht das dann weiter beim Konvergenzradius? Das was bei $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n \end{eqnarray*}$ rauskommt, ist der Radius?

EDIT: Habe die Klammern richtig gesetzt!

16.01.2007, 07:20

Leopold

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Leider ist deine Klammersetzung unklar. Was meinst du:

$\begin{eqnarray*} \ln{\left( n^{n+1} \right)} = (n+1) \ln{n} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \left( \ln{n} \right)^{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ alleine einzuklammern, erscheint mir unter keinen Umständen sinnvoll. Das wäre ja so etwas wie $\begin{eqnarray*} (x)^k \end{eqnarray*}$ . Was soll da die Klammer um das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ?

16.01.2007, 10:38

gibson

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hi, sry, ich meine natürlich:
$\begin{eqnarray*} (\ln n)^{n+1} \end{eqnarray*}$
Habe im ersten Beitrag alles ausgebessert!

16.01.2007, 10:49

klarsoweit

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RE: Konvergenzradius einer Potenzreihe

Zitat:

Original von gibson
Nun, dafür muss ich ja zuerst einmal schauen, ob
$\begin{eqnarray*} a_n = (\ln n)^{n+1} \end{eqnarray*}$
konvergiert.

Das muß nicht konvergieren. Nötig ist die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} b_n := (\ln n)^{n+1} \cdot x^n \end{eqnarray*}$ und zwar gegen Null.

Den Konvergenzradius bekommst du aus dem Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n+1}} \end{eqnarray*}$

16.01.2007, 10:59

gibson

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? also welchen Limes soll ich jetzt von was nehmen?
gegen was, soll der Limes bei $\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n+1}} \end{eqnarray*}$ laufen?

16.01.2007, 11:21

Dual Space

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Zitat:

Original von gibson
gegen was, soll der Limes bei $\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n+1}} \end{eqnarray*}$ laufen?

Na was gibt es denn für sinnvolle Möglichkeiten? Augenzwinkern

Natürlich ist $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ gemeint.

16.01.2007, 21:30

gibson

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weiß nicht, das erscheint mir irgendwie zu einfach.
Also meine Angabe, man soll den Konvergenzradius bestimmen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~(\ln n)^{n+1}x^{n} \end{eqnarray*}$
und es gilt ja:
Falls $\begin{eqnarray*} L = \lim_{n \to \infty} \mid \frac{a_{n+1}}{a_n} \mid \in [0,\infty] \end{eqnarray*}$ existiert, so hat die Potenzreihe den Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} R = 1/L \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} 1/\infty =0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1/0 = \infty \end{eqnarray*}$ zu interpretieren sind.

Also, bei meiner Rechnung:
$\begin{eqnarray*} a_n = (\ln n)^{n+1} \end{eqnarray*}$
jetzt also
$\begin{eqnarray*} L = \lim_{n \to \infty} \mid \frac{(\ln (n+1))^{n+2}}{(\ln n)^{n+1}} = 0 \end{eqnarray*}$
und nun
$\begin{eqnarray*} R = 1/L = 1/0 \Rightarrow \infty \end{eqnarray*}$
.
Das wars schon? Was hat dieses $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ zu bedeuten?

lg

16.01.2007, 21:34

therisen

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Zitat:

Original von gibson
Also, bei meiner Rechnung:
$\begin{eqnarray*} a_n = (\ln n)^{n+1} \end{eqnarray*}$
jetzt also
$\begin{eqnarray*} L = \lim_{n \to \infty} \mid \frac{(\ln (n+1))^{n+2}}{(\ln n)^{n+1}} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\infty \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

16.01.2007, 22:28

gibson

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ok stimmt, also:
$\begin{eqnarray*} L = \lim_{n \to \infty} \mid \frac{(\ln (n+1))^{n+2}}{(\ln n)^{n+1}} =\infty \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} R = 1/L = 1/\infty \Rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

und das wars wirklich schon? mehr ist nicht?

16.01.2007, 22:53

Sunwater

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kannst du denn mit deinem Ergebnis was anfangen? - was heißt das jetzt für deine Potenzreihe?

16.01.2007, 23:36

gibson

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d.h., dass sie nur im Punkt x konvergiert.
Allerdings habe ich gerade ein Problem beim Grenzwert.
Hier kommt doch " $\begin{eqnarray*} \infty/\infty \end{eqnarray*}$ " raus, wenn man dann L'hospital anwendet, kommt noch immer " $\begin{eqnarray*} \infty/\infty \end{eqnarray*}$ "!

17.01.2007, 08:24

Dual Space

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Zitat:

Original von gibson
d.h., dass sie nur im Punkt x konvergiert.

Dafür muss eben dieser Punkt x im Konvergenzradius liegen. Also nach deiner Rechnung in einer Kugel mit Mittelpunkt 0 und mit Radius 0.

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