MDS Codes Codierungstheorie

29.01.2012, 15:47

NEuer12

MDS Codes Codierungstheorie

Hallo,

ich hoffe jemand kann mir kurz weiterhelfen.

Ich bin etwas verwirrt. Meine Frage ist , ob MDS Codes perfekte Codes sind.

Definition (perfekte Codes)

Es sei $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ein Code der Länge $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ über Alphabet $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ heißt perfekt, falls $\begin{eqnarray*} e \in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ ex. sodass

$\begin{eqnarray*} F^n=\bigcup_{c \in C} B_e(c) \end{eqnarray*}$ , die disjunkte Vereinigung der Kugeln $\begin{eqnarray*} B_e(c) \end{eqnarray*}$ ist.

OK

Weiter steht im Skript :
MDS-Codes zeichen sich dadurch aus, dass sie den Raum $\begin{eqnarray*} F^n \end{eqnarray*}$ vollständig mit disjunkten Kugeln
überdecken, sodass der Raum bestmöglich ausgeschöpft und die Decodierung somit fur jedes empfangene
Wort defi niert ist.

Daraus würde ich somit schließen , dass MDS Codes ebenfalls perfekt sind.

Ist das richtig?

Es macht mich ein bisschen stutzig , dass es nirgendwo im Skript vermerkt ist.
Es gibt auch einen Abschnitt der darüber handelt, ob es weiter perfekte Codes gibt außer Hammingcodes oder Golay Codes. Auch darin fällt kein Wort von MDS Codes.

Wie passt das zusammen. Weiß jemand hier, ob MDS Codes perfekte Codes sind?

Vielen Dank

31.08.2014, 22:49

Mr. Anderson

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RE: MDS Codes Codierungstheorie

Zitat:

Original von NEuer12
MDS-Codes zeichen sich dadurch aus, dass sie den Raum $\begin{eqnarray*} F^n \end{eqnarray*}$ vollständig mit disjunkten Kugeln
überdecken, sodass der Raum bestmöglich ausgeschöpft und die Decodierung somit fur jedes empfangene
Wort defi niert ist.

Falsch.

Gegenbeispiel: 1-Bit-Paritätscode $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n = 3 \end{eqnarray*}$ . Das ist $\begin{eqnarray*} C=\{(0,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)\} \end{eqnarray*}$

Ist ein linearer Code $\begin{eqnarray*} (3, 2, 2)_2 \end{eqnarray*}$ MDS-Code, denn Mindestabstand ist 2 (leicht durch probieren nachprüfbar), und damit ist die Singleton-Schranke $\begin{eqnarray*} 3 - 2 + 1 = 2 \end{eqnarray*}$ genau getroffen.

Es ist aber kein perfekter Code, den eine Kugel mit dem kleinen Radius 1 ergibt bereits eine Überschneidung für $\begin{eqnarray*} (0,0,0) und (0,1,1) \end{eqnarray*}$ bei dem Wort $\begin{eqnarray*} (0,0,1) \end{eqnarray*}$ .

Selbst wenn man unterschiedlich große Kugeln auswählen würde (was die Definition von perfekten Codes bereits verletzt), ist das nicht zu schaffen.

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