Äquivalenzumformung - Quadratische Gleichung

29.01.2012, 18:05

weizenhuhn

Äquivalenzumformung - Quadratische Gleichung

Hallo liebes Mathe Team!

Ich komm hier einfach nicht weiter..
Die Aufgabenstellung lautet:

"Drücken Sie aus der Formel $\begin{eqnarray*} a{ z }^{ 2 }+az+{ b }^{ c }=0 \end{eqnarray*}$ jede Größe
durch die jeweils anderen aus! Welche Bedingungen müssen die Größen erfüllen,
damit die auftretenden Ausdrücke definiert sind?"

b hab ich schon, dass war nicht so schwer Augenzwinkern

aber wie komm ich zu z??
Ich hab mal soweit umgeformt $\begin{eqnarray*} { z }^{ 2 }+z=-\frac { { b }^{ c } }{ a } \end{eqnarray*}$ und nun ist mir nicht ganz klar,
welche Variablen ich benötige, um ein vollständiges Quadrat zu erhalten. unglücklich

Und was ist gemeint mit Bedingungen der Größen? Ist es korrekt, wenn ich schreibe, dass die Koeffizenten von z nicht 0 sein dürfen?

29.01.2012, 18:14

Equester

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Mitternachtsformel wird dir weiterhelfen.
Oder falls unbekannt die pq-Formel.

Naja so allgemein kannst das nicht sagen. Kommt drauf an. Steht z im Nenner, kannst
du die Bedingung aufstellen, dass z nicht 0 werden darf. Stehts unter der Wurzel, so
darf z nicht negativ werden etc..
Aber du wolltest ja ohnehin nach z auflösen. Da brauchst du an z keine Bedingungen stellen Augenzwinkern

29.01.2012, 18:31

weizenhuhn

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Achso, alles alle Szenarien durchdenken.. ok

Ich möchte es ja eh mit der Mitternachttsformel lösen aber hier wird ja
auf beiden Seiten

$\begin{eqnarray*} +{ \left( \frac { { b } }{ 2a } \right) }^{ 2 } \end{eqnarray*}$

hinzugefügt um ein vollständiges Quadrat zu erhalten. Aber hier sind die 2a die Variablen die mich etwas verwirren.. Wie komm ich hier zu einem Quadrat? unglücklich

29.01.2012, 18:34

Equester

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Hmm? Ich kann dir nicht folgen.
Du kennst die Mitternachtsformel?

Dann wende es doch direkt hierauf an: $\begin{eqnarray*} a{ z }^{ 2 }+az+{ b }^{ c }=0 \end{eqnarray*}$

29.01.2012, 18:54

weizenhuhn

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jo dann bekomm ich:

$\begin{eqnarray*} z=\frac { -a\pm \sqrt { { a }^{ 2 }-4a{ b }^{ c } } }{ 2a } \end{eqnarray*}$

allerdings würde mich eben der umformungsschritt interessieren, zu dem es dazu dann kommt..

29.01.2012, 18:57

Equester

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Ja das ist richtig. Musst nun noch die Bedingungen noch feststellen.

Welchen Umformungsschritte interessieren dich noch? Du bist fertig.
Mehr kann man da kaum machen Augenzwinkern

30.01.2012, 10:45

weizenhuhn

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das was mich ja intesessiert ist nicht die Lösung sondern der weg von der ursprungsformel zu dieser traurig

30.01.2012, 11:02

Equester

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Du meinst wie man auf die Mitternachtsformel kommt?

http://de.wikipedia.org/wiki/Mitternacht...er_a-b-c-Formel

Da schau mal nach Augenzwinkern

30.01.2012, 12:11

weizenhuhn

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Danke erstmal für die große Hilfe!

Ich wusste allerdings schon wie die Herleitung dieser Formel geht. Allerdings komm ich ins Grübeln, sobald die Ausgangsformel etwas anders aussieht, weißt du was ich meine?

Sitze grad bei einem anderen Bsp., dass, glaube ich, ähnlich abläuft:

"Lösen Sie $\begin{eqnarray*} a{ x }^{ 2 }+\left( a+b \right) \ast x+b=0 \end{eqnarray*}$ nach x auf! (a nicht gleich 0) Warum muss diese Gleichung immer eine reelle Lösung haben?"

Also, ich hab jetzt die Herleitung der Mitternachtsformel entsprechend abgeändert, aber da ich keine Lösung habe bin ich mir gar nicht sicher ob es stimmt. Hier ist es der Term $\begin{eqnarray*} \left( a+b \right) \ast x \end{eqnarray*}$ der mir Sorgen macht.

Aber ich würde mich sehr freuen wenn sich jemand die Zeit nehmen könnte und sich meine Rechengänge kontrollieren würde. Hab das mal hier hochgeladen, da es mir mit latex grade zu umständlich ist ^^
Hoffe es ist lesbar:

http://img88.imageshack.us/img88/2011/bsp2g.jpg

Am Schluss ist mir nicht klar wie ich jetzt 1/2 mal b/2a rechne..
meine Lösung wäre, dass im Nenner der beiden Terme statt 2a --> 4a steht.
da ja 1/2 * 1/2 = 1/4.. ist das so zulässig?

30.01.2012, 12:17

Equester

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In der viertletzten Zeile auf die drittletzte Zeile hast du die Wurzel gezogen.
Allerdings falsch.
Du musst die Wurzel komplett über die linke Seite ziehen und damit auch über +x!

Warum gehst du überhaupt den Umweg? Ist es euch verboten direkt die Mitternachtsformel
zu verwenden? Oder hast du das nur gemacht, weil du mit dem (a+b)x nicht klargekommen bist?

Beachte, dass (a+b) dem b in der Formel entspricht. Du musst halt für das b in der
Formel (a+b) hinschreiben Augenzwinkern

30.01.2012, 12:43

weizenhuhn

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aja, da hab ich nen Fehler.. aber dann steht links $\begin{eqnarray*} x+\sqrt { x } \end{eqnarray*}$
Wie soll ich das jetzt auflösen?

Also ich denke schon dass unser Professor den Rechengang sehn will.
Er betont immer wie wichtig es ihm ist, zu verstehen, was wir hinschreiben Augenzwinkern

Also die Lösung müsste dann lauten:

$\begin{eqnarray*} x=\frac { -\left( a+b \right) \pm \sqrt { \left( a+b \right) -4ab } }{ 2a } \end{eqnarray*}$

Aber wie bekomm ich beim Umformen dann das $\begin{eqnarray*} x+\sqrt { x } \end{eqnarray*}$ aufgelöst??

PS: Danke für die große Hilfe die ganze Zeit smile

EDIT: Ne also ich denke dass Ziel ist es, dass ich einfach die herkömmliche Formel verwende und damit die Mitternachtsformel herleiten kann. Danach setzt ich
einfach korrekt in die Formel ein. Somit hab ich die Herleitung gezeigt und kann
bei anderen Formel keinen Fehler einbauen.

30.01.2012, 12:51

Equester

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Um was gehts denn bei der Aufgabe?
Wenn es das Ziel ist die Mitternachtsformel herzuleiten, gut.
Sonst aber kannst du die Mitternachtsformel immer voraussetzen! Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} x=\frac { -\left( a+b \right) \pm \sqrt { \left( a+b \right) -4ab } }{ 2a } \end{eqnarray*}$

Mit dem hier bist du schon fertig. Das ist die Mitternachtsformel eingesetzt.

Zitat:

aja, da hab ich nen Fehler.. aber dann steht links $\begin{eqnarray*} x+\sqrt { x } \end{eqnarray*}$
Wie soll ich das jetzt auflösen?

Nein steht da nicht. Denn du musst über die komplette linke Seite die Wurzel ziehen.
Im Allgemeinen: $\begin{eqnarray*} \sqrt{x+y}\neq\sqrt{x}+\sqrt{y} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

30.01.2012, 13:15

weizenhuhn

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Zitat:

Nein steht da nicht. Denn du musst über die komplette linke Seite die Wurzel ziehen.

Ups, hab ich glatt übersehen Augenzwinkern

Ich denke das wird dann schon so passen, wenn ich die Formel verwende.
Aber weiters steht dann noch

"Warum muss diese Gleichung immer eine reelle Lösung haben?"

Diese Frage ist schon sehr allgemein unglücklich

Was wären da mögliche Antworten? Reelle Zahlen sind ja bekanntlich alle
Zahlen (was wir zumindest bisher gelernt haben Augenzwinkern

Wäre eine Antwort : "Da sie geometrisch darstellbar ist"??
Ich hätte auch gesagt, weil die Diskriminante positiv sein muss, da ja sonst keine Lösung vorkommt, aber das seh ich mit Variablen ja nicht..

30.01.2012, 14:11

Equester

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Ähm, da muss ich passen. Die Gleichung muss nicht immer eine reelle Lösung haben.
Es gibt noch die komplexen Zahlen. Die erlauben auch nichtreelle Lösungen.
Allerdings hast du recht. Euer Kenntnisstand endet mit den reellen Zahlen.

Davon dass die Diskriminante positiv ist, folgt, dass wir im reellen Bereich sind.
Das wäre also "falschrum" argumentiert Augenzwinkern

.
Am schönsten finde ich dann noch deine Antwort, dass sie mit euren Mitteln noch
geometrisch darstellbar ist verwirrt

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