Residuensatz: Singularität |
| 29.01.2012, 22:50 | shu | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Residuensatz: Singularität Ich habe eine Frage bzgl. des Residuensatzes. Befindet sich eine Singularität auf dem Rand des Gebietes um das integriert wird, kann man mit Hilfe des Residuensatzes Folgerungen ziehen? Oder sagt dazu der Residuensatz nichts aus? Meine Ideen: Ich persönlich denke, dass man im Allgemeinen nichts darüber aussagen kann. Sprich es kann sein, dass das Integral divergiert, allerdings auch konvergiert. Da ich mir allerdings nicht sicher bin, frage ich hier lieber nach. MfG |
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| 29.01.2012, 23:23 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi, Das Integral divergiert tatsächlich im gewöhnlichen Sinne, wenn die Singularität auf dem Rand liegt. Allerdings kann man (und macht das für gewöhnlich auch) den Cauchy'schen Hauptwert betrachten, dann konvergiert das Ganze wieder und liefert auch das "richtige" Resultat. Ausführungen dazu sind z.B. in Ahlfors' "Complex Analysis" zu finden (aber auch an vielen anderen Stellen). Es läuft darauf hinaus, den Integrationsweg in einem ersten Schritt so zu modifizieren, dass er in einem kleinen Kreisbogen um die Singularität herumgeht und dann den Radius dieses Kreisbogens gegen null gehen zu lassen. Dabei muss man dann schauen, wohin das Integral über den Kreisbogen konvergiert. (Der Wert ist schlussendlich das Residuum mal dem orientierten Winkel, welcher der eingehende Weg mit dem weglaufenden Weg einschliesst - für einen geraden Integrationsweg hat man z.B. , also gerade die Hälfte des normalen Wertes, wenn man ganz rundherumintegrieren würde) |
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