Wann ist ein affiner Unterraum ein Untervektorraum?

Neue Frage »

Schnecki Auf diesen Beitrag antworten »
Wann ist ein affiner Unterraum ein Untervektorraum?
Es sei n eine positive ganze Zahl V sei ein Vektorraum der Dimension n.
Ein affiner Unterraum W von V ist genau dann ein Untervektorraum, wenn für alle w1 , w2 [Element von] W auch w1 − w2 [Element von] W ist.


Also grundsätzlich ist die Definition einer affinen Unterraums ja folgendermaßen:



Und wenn v = 0 ist, dann wäre auch der Nullvektor enthalten, was ja die Bedingung für den Untervektorraum ist. Daher würde ich sagen, die Aussage stimmt nicht. Sie stimmt aber allerdings. Nun weiß ich nicht wo mein Denkfehler ist.

w1 - w2 beinhaltet doch nicht die Eigenschaft, dass der Nullvektor enthalten ist. Könnt ihr mir einen Denkanstoß geben....Bitte smile


PS: Bitte verschieben in Hochschulmathematik....mein Fehler sorry...!
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wann ist ein affiner Unterraum ein Untervektorraum?
Hallo Schnecki,

Deine Aussagen sind völlig konfus.

Zitat:
Also grundsätzlich ist die Definition einer affinen Unterraums ja folgendermaßen:

Das ist weder die Definition eines affinen Unterraums noch überhaupt eine verständliche Definition von irgendwas

Zitat:
w1 - w2 beinhaltet doch nicht die Eigenschaft, dass der Nullvektor enthalten ist.

Wenn w1 und w2 Vektoren sind, dann kann w1-w2 weder eine Eigenschaft noch den Nullvektor "beinhalten". Das ergibt einfach keinen Sinn.
unglücklich

Letztlich hast Du zwei Richtungen zu zeigen.
Vielleicht überlegst Du Dir erst mal, warum eine affiner UR,der auch ein Unterraum ist, die gegebene Bedingung erfüllt.


Gruß,
Rubiksilat.


PS: "w1 − w2 [Element von] W" ist ein blöder C&P-Fehler, der beim Verwenden der Vorschau auffallen sollte.
böse
Schnecki Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Reksilat

Also nochmals zum Sicherstellen, dass ich verstanden habe, was ein Untervektorraum und ein affiner Unterraum ist:

- Ein Untervektorraum ist eine Teilmenge eines Vektorraums, wobei die Addition von Elementen des Untervektorraums wieder ein Element im Untervektorraums ist. (Äquivalent ist die Skalarmultiplikation im Untervektorraum definiert). Weiters muss der Nullvektor enthalten sein.

- Der affine Unterraum hat genau die selbe Definition, wie der Untervektorraum. Jedoch muss der Nullvektor nicht enhalten sein (kann aber enthalten sein). Sofern der Nullvektor nicht enthalten ist, liegt eine Verschiebung des Untervektorraumes vor.


Naja und jetzt zurück zu der Frage:

Ein affiner Unterraum, der den Nullvektor enthält, ist somit ein Untervektorraum (weil die Verschiebung Null ist!).

Somit muss ich nachweißen, ob die Verschiebung Null ist. Dieser Nachweiß ist aber meiner Meinung nach (zumindestens sehe ich es nicht) nicht gegeben. Muss er aber sein. Wieso ist es doch so?

P.S. Ich wollte eigentlich das Element von Symbol einfügen...hat aber nicht geklappt und ich hab es auf [Element von] geändert, nur vergessen die HTML Notation zu entfernen. Sry.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
- Der affine Unterraum hat genau die selbe Definition, wie der Untervektorraum.

Ne, das ist Quatsch. Ein affiner Unterraum ist ein um einen Vektor verschobener Unterraum - die Definitionen sind deshalb aber nicht identisch. Im allgemeinen gilt dabei nicht, dass dieser unter Addition oder Skalarmultiplikation abgeschlossen ist. Dies gilt ausschließlich, wenn die Verschiebung Null ist und gerade das ist ja zu zeigen.

Zitat:
Ein affiner Unterraum, der den Nullvektor enthält, ist somit ein Untervektorraum (weil die Verschiebung Null ist!).

Ja, das stimmt.

Zitat:
Somit muss ich nachweißen, ob die Verschiebung Null ist. Dieser Nachweiß ist aber meiner Meinung nach (zumindestens sehe ich es nicht) nicht gegeben. Muss er aber sein. Wieso ist es doch so?

Ich kann Dich hier leider wieder nicht verstehen. Wieso ist der Nachweis nicht gegeben? Was heißt das? verwirrt
Schreibe doch bitte zuerst mal, welche Richtung des Beweises Du zuerst angehen möchtest. (Es ist eine Äquivalenz zu zeigen - es werden also Hin- und Rückrichtung benötigt.)

Für die Hinrichtung gehst Du von einem Unterraum W aus und musst zeigen, dass für alle w1,w2 in W auch w1-w2 in W drin ist.

Für die Rückrichtung gehst Du davon aus, dass für alle w1,w2 in W auch w1-w2 in W ist und musst zeigen, dass dann W ein Unterraum ist. Dies kannst Du zum Beispiel machen, indem Du einfach nur zeigst, dass der Nullvektor drin ist.

PS: Es heißt Nachweis.
Schnecki Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Reksilat
Im allgemeinen gilt dabei nicht, dass dieser unter Addition oder Skalarmultiplikation abgeschlossen ist. Dies gilt ausschließlich, wenn die Verschiebung Null ist und gerade das ist ja zu zeigen.


OK, das wusste ich nicht. Ist allerdings eine wichtige Eigenschaft, wenn man die Aufgabe verstehen will verwirrt
Somit gilt ja, laut Angabe, die Subtraktion in dem affinen Unterraum W:



Und daher muss die Verschiebung Null sein, sonst wäre diese ja nicht definiert! Stimmt dieser Schluss so? Falls ja, gälte dies auch bei der Definition von Addition oder Skalarmultiplikation, oder liege ich da falsch?

Zitat:

Für die Hinrichtung gehst Du von einem Unterraum W aus und musst zeigen, dass für alle w1,w2 in W auch w1-w2 in W drin ist.

Für die Rückrichtung gehst Du davon aus, dass für alle w1,w2 in W auch w1-w2 in W ist und musst zeigen, dass dann W ein Unterraum ist. Dies kannst Du zum Beispiel machen, indem Du einfach nur zeigst, dass der Nullvektor drin ist.


Hmmm, dann probiere ich das mal.

W ist ein Unterverktorraum von einem n-dimensionalen Vektorraum V. Wenn w1 und w2 Elemente von W sind, dann gilt auch w1+w2 ist ein Element von W. (So ist ja der Untervektorraum definiert). Somit muss auch gelten, dass w1-w2 bzw. w2-w1 ein Element von W ist. Zusätzlich ist für alle c (Element von R) c*w1 ein Element von W.


Wenn W nun ein affiner Unterraum ist, und die Subtraktion (für alle w1-w2) definiert ist, muss auch die Addition für alle w1+w2 definiert sein. Somit gilt auch w1 - w2 = 0, falls w1 = w2 und im speziellen, wenn w1 = w2 = 0.
Daher ist der Nullvektor definiert, dies kann jedoch nur sein, wenn der affine Unterraum um den Vektor der Größe Null verschoben ist. Somit ist der affine Unterraum ein Untervektorraum.


Ich hoffe, dass ich damit zumindest Teilweise recht habe. Auf jeden Fall möchte ich mich für deine Hilfe und Ratschläge nun einmal bedanken. Gott Freude
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
OK, das wusste ich nicht. Ist allerdings eine wichtige Eigenschaft, wenn man die Aufgabe verstehen will verwirrt

Wenn Du mit affinen Unterräumen arbeiten willst, musst Du auch die genaue Definition dieses Begriffs verwenden.

Zitat:
Somit gilt ja, laut Angabe, die Subtraktion in dem affinen Unterraum W:


Ich verstehe nicht, was Du damit meinst, dass "die Subtraktion gilt".

Ein affiner Unterraum ist im allgemeinen nicht unter Subtraktion abgeschlossen. Dies gilt nur, wenn der affine Unterraum auch ein ganz normaler Unterraum ist, aber diese Aussage kannst Du noch nicht verwenden, da genau das zu zeigen ist.

Zitat:
Und daher muss die Verschiebung Null sein, sonst wäre diese ja nicht definiert!

Verstehe ich nicht.

Zitat:
W ist ein Unterverktorraum von einem n-dimensionalen Vektorraum V. Wenn w1 und w2 Elemente von W sind, dann gilt auch w1+w2 ist ein Element von W. (So ist ja der Untervektorraum definiert). Somit muss auch gelten, dass w1-w2 bzw. w2-w1 ein Element von W ist. Zusätzlich ist für alle c (Element von R) c*w1 ein Element von W.

Der letzte Satz ist überflüssig, da er vom relevanten Resultat ablenkt.
Der Rest passt.


Zitat:
Wenn W nun ein affiner Unterraum ist, und die Subtraktion (für alle w1-w2) definiert ist, muss auch die Addition für alle w1+w2 definiert sein.

Definiert ist die Subtraktion und die Addition in jedem Fall, da wir uns ja in einem Vektorraum befinden. Wichtig ist, dass W unter Subtraktion abgeschlossen ist.

Zitat:
Somit gilt auch w1 - w2 = 0, falls w1 = w2 und im speziellen, wenn w1 = w2 = 0.

Meiner Meinung nach etwas komisch aufgeschrieben.
Wenn ist, so ist nach Vorraussetzung auch und somit liegt der Nullvektor in .

Zitat:
Daher ist der Nullvektor definiert, dies kann jedoch nur sein, wenn der affine Unterraum um den Vektor der Größe Null verschoben ist. Somit ist der affine Unterraum ein Untervektorraum.

Der Nullvektor ist natürlich immer definiert. Es stellt sich die Frage, ob er in W liegt. Da das hier der Fall ist, ist W ein Unterraum.

Sieht OK aus. Freude

gn8,
Rubiksilat.
 
 
Schnecki Auf diesen Beitrag antworten »

Super, jetzt ist es mir klar. Entschuldigung noch wegen meinen schlechte Formulierungen, muss mich wohl auch da noch etwas üben.

Auf jeden Fall herzlichen Dank für Deine in Anspruch genommene Zeit.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »