Extremwertaufgabe Zylinder

30.01.2012, 00:43

Meisel

Extremwertaufgabe Zylinder

Meine Frage:
Endlich mal eine Zylinderaufgabe smile

Aufgabe:

Ein oben offender zylindrischer Behälter soll aus Zinkblech hergestellt werden und ein Volumen von 360 l aufweisen
Welche Abmessungen muss der Behälter haben, wenn der Materialverbrauch minimal sein soll?

Meine Ideen:
HB:
$\begin{eqnarray*} O=2\pi rh+2\pi r² V=\pi r²h \end{eqnarray*}$

NB:
$\begin{eqnarray*} V=360 V=\pi r²h \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{360}{\pi r²}=h \end{eqnarray*}$

NB in HB:
$\begin{eqnarray*} O=2\pi r(\frac{360}{\pi r²} )+2\pi r² \end{eqnarray*}$

Weiter komm ich leider nicht unglücklich

30.01.2012, 01:07

frank09

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RE: Extremwertaufgabe Zylinder

Zitat:

$\begin{eqnarray*} O=2\pi rh+2\pi r² \end{eqnarray*}$

besser ("oben offen"):
$\begin{eqnarray*} O=2\pi rh+\pi r² \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} O=2\pi r(\frac{360}{\pi r²} )+\pi r²=\frac{720}{ r}+\pi r² \end{eqnarray*}$
nun erstmal nach r ableiten...

30.01.2012, 01:29

Meisel

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RE: Extremwertaufgabe Zylinder
oh hoppla... schreibfehler Hammer

Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} O(r)=\frac{720}{r} +\pi r² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O'(r)=720r^-2+2\pi r=\frac{720}{r²} +2\pi r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O''(r)=-1440r^-3+2\pi =\frac{-1440}{r³} +2\pi \end{eqnarray*}$

Extrema:

$\begin{eqnarray*} O'(r)=0 \frac{720}{r²} +2\pi r=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 720+2\pi r³=0 2\pi r³=-720 r³=\frac{-720}{2\pi } r=\sqrt[3]{\frac{-720}{2\pi } } r=-1,42 \end{eqnarray*}$

soweit okay? ^^

30.01.2012, 01:35

frank09

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RE: Extremwertaufgabe Zylinder

Zitat:

$\begin{eqnarray*} O'(r)=720r^-2+2\pi r=\frac{720}{r²} +2\pi r \end{eqnarray*}$

richtig wäre:
$\begin{eqnarray*} O'(r)=-720r^{-2}+2\pi r=-\frac{720}{r²} +2\pi r \end{eqnarray*}$

30.01.2012, 01:49

Meisel

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RE: Extremwertaufgabe Zylinder
Natürlich, ich hab das Vorzeichen vergessen böse