Wieso ist e^ln(w) = w

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Dome91 Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso ist e^ln(w) = w
Für
wobei bei w die 0 ausgeschlossen ist (wollte der Formeleditor aber nicht einsehen )



Kann mir einer erklären wieso das so ist? Oder besser die Rechenregeln nennen wie ich darauf komme?
Trak Auf diesen Beitrag antworten »

überleg mal, was für eine Zahl dir der natürliche Logarithmus im Bezug auf e gibt, bzw. wie ist der logarithmus für e^x=y definiert
Dome91 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich e^x=y habe kann ich x= ln(y) rechnen.

Hier wäre das also:

ln(w) = ln(w)

Hätte ich damit gezeigt das e^ln(w)= w ist, weil die Aussage ln(w) = ln(w) wahr ist?!
Trak Auf diesen Beitrag antworten »

überleg mal, was kriegst du denn heraus, wenn du jetzt e^lny nimmst?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dome91
Wenn ich e^x=y habe kann ich x= ln(y) rechnen.

Ganz so naiv kann man nicht rangehen: Im komplexen stimmt das eben geschriebene i.a. nämlich nicht - die Umkehrung schon.



Im komplexen bildet die Exponentialfunktion von Definitionsbereich auf Wertebereich ab. Allerdings ist diese Abbildung nicht bijektiv, wegen für alle ganzen Zahlen . Mit anderen Worten, die Exponentialfunktion ist periodisch mit Periode .

Schränkt man aber den Definitionsbereich auf den Streifen ein, dann ist die so betrachtete Funktion dann doch bijektiv, und ihre Umkehrfunktion wird genannt, also .

In dem Kontext wäre für dein gar nichts zu beweisen - wenn ihr anders definiert habt, musst du erstmal sagen, wie ihr das getan habt!
Dome91 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von René Gruber

Schränkt man aber den Definitionsbereich auf den Streifen ein, dann ist die so betrachtete Funktion dann doch bijektiv, und ihre Umkehrfunktion wird genannt, also .


Ja, das haben wir in der Vorlesung gemacht ( sonst könnte man keine umkehrfunktion machen oder? )
 
 
Dome91 Auf diesen Beitrag antworten »

Noch jemand da der mir helfen will Willkommen
helo290 Auf diesen Beitrag antworten »

Entscheidend für die Umkehrung ist halt die Bijektivität. Bijektiv bedeutet ja injektiv und surjektiv.

Die Funktion muss surjektiv sein , damit bei der Umkehrung alle Bildpunkte wieder abgebildet werden und die Funktion muss injektiv sein, weil eine Abbildung jedem Element des Definitionsbereiches jeweils nur ein Element des Wertebereiches zuordnet. Wäre also die ursprüngliche Funktion nicht injektiv so müsste mind. einem Wert des Definitionbereiches der Umkehrfunktion 2 oder mehr Werte zugeordnet werden, was dann aber keine Funktion mehr wäre.
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